Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(6) integral raizx+3x-1 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral . Vamos usar o conteúdo de Integração por Substituição para resolver isso. Para isso, precisamos escolher uma função dentro da integral para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente. Vamos deixar u = raizx + 3 . Isso significa que:
dudx = 12raizx + 3 Rightarrow dx = 2raizx + 3 , du = 2u , du
Para achar em termos de , vamos derivar ambos os lados:

Passo 3

Agora, substituímos integral raizx + 3x - 1 , dx = integral ux - 1 cdot 2u , du = 2 integral u^2x - 1 , du e u^2 = x + 3 Rightarrow x = u^2 - 3 na integral original:
2 integral u^2(u^2 - 3) - 1 , du = 2 integral u^2u^2 - 4 , du
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
u^2u^2 - 4 = 1 + 4u^2 - 4
Então, a integral fica:
2 integral (1 + 4u^2 - 4) , du = 2 integral 1 , du + 8 integral 1u^2 - 4 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
  1. integral 1u^2 - a^2 , du = 12a ln|u - au + a| + C
  2. Para integral 1u^2 - 4 , du = 14 ln|u - 2u + 2| + C , reconhecemos uma forma que se encaixa na integral de razão de quadráticos. Sabemos que:
8 cdot 14 ln|u - 2u + 2| = 2 ln|u - 2u + 2|
Aqui, , então:
Multiplicando por 8:

Passo 6

Juntando tudo:
2 ( u + 2 ln|u - 2u + 2| ) + C
Agora, substituímos 2 raizx + 3 + 2 ln|raizx + 3 - 2raizx + 3 + 2| + C de volta:

Resposta

A integral é igual a:
2,raizx+3 + 2,ln|raizx+3 - 2raizx+3 + 2| + C

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