Exercício 1. Calcule d/y d/x para cada função abaixo:
d) 1,25 Pontos) x^3 + x*y^2 + 4*y^2 = 6

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a derivada da função dada pela equação . Isso envolve derivação implícita, que é usada quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a usa a regra do produto: primeiro derivamos e deixamos , que fica , depois deixamos e derivamos com a regra da cadeia, que fica .
  • Derivada de em relação a também usa a regra da cadeia, ficando .
  • A derivada de em relação a é , já que é uma constante.
Então, derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:
Fatorando :

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada é:

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