Mostre que cada uma das funçőes dadas satisfaz a equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a equação do calor, que é
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais e entender como aplicar a equação do calor para verificar se a função dada realmente a satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação do calor. Ela descreve como a temperatura (ou outra quantidade) se distribui em um meio ao longo do tempo. A equação é dada por
, onde:
-
é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo. -
é a segunda derivada da temperatura em relação ao espaço. -
é uma constante relacionada à difusão do calor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Mas olha só, na função
, não aparece o
. Isso significa que a derivada em relação a
será zero, já que
não depende de
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação do calor para verificar se a igualdade é satisfeita.
A equação do calor é:
Substituindo:
Isso implica que:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, a única possibilidade é que
. Porém,
é uma constante não nula e
não é zero para todos os valores de
. Portanto, a função dada não satisfaz a equação do calor a menos que
para todos
, o que não é o caso.
Resposta
A função
não satisfaz a equação do calor
para valores gerais de
e
.
Exercícios relacionados
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade:
é no máximo 8
Exercício 4. (2,0 Pontos)Ache a área da região limitada pela reta
de
até
. Esboce esta região.
Exercício 1. Calcule
para cada função abaixo:
d) Pontos)
d)
Se um gás tem densidade de
gramas por centímetro cúbico, a
e 760 milímetros de mercúrio ( mm ), então sua densidade a
e pressão
é
. Quais são as taxas de variação da densidade em relação à temperatura e à pressão?
Resposta: e
.
Resposta: