Mostre que cada uma das funçőes dadas satisfaz a equação do calor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função satisfaz a equação do calor, que é . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais e entender como aplicar a equação do calor para verificar se a função dada realmente a satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação do calor. Ela descreve como a temperatura (ou outra quantidade) se distribui em um meio ao longo do tempo. A equação é dada por , onde:
  • é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.
  • é a segunda derivada da temperatura em relação ao espaço.
  • é uma constante relacionada à difusão do calor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . Mas olha só, na função , não aparece o . Isso significa que a derivada em relação a será zero, já que não depende de .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é .
Primeiro, a primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Vamos substituir e na equação do calor para verificar se a igualdade é satisfeita.
A equação do calor é:
Substituindo:
Isso implica que:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , a única possibilidade é que . Porém, é uma constante não nula e não é zero para todos os valores de . Portanto, a função dada não satisfaz a equação do calor a menos que para todos , o que não é o caso.

Resposta

A função não satisfaz a equação do calor para valores gerais de e .

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