Exercício 1. Calcule a integral integral duplaW f(x, y, z) d x d y d z para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(d) f(x, y, z)=2 e W=(x, y, z) ; x^2+y^2=9 e 1 <= z <= 3.
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Omega
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Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular a integral tripla integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz, onde f(x, y, z) = 2e e a região W é definida por x^2 + y^2 = 9 e 1 <= z <= 3. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a região W é um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração W. A equação x^2 + y^2 = 9 representa um cilindro circular com raio 3, e a condição 1 <= z <= 3 define a altura desse cilindro entre os planos z = 1 e z = 3. Então, estamos lidando com um cilindro de altura 2.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são r, theta e z, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z permanece o mesmo.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dz. Assim, a integral tripla fica:
integral triplaW 2e , dx , dy , dz = 2e integralz=1^3 integraltheta=0^2pi integralr=0^3 r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Vamos resolver as integrais uma de cada vez:
  1. Integral em r:
integral0^3 r , dr = 12 r^2 |0^3 = 12 times 9 = 4,5
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
  1. Integral em z:
integral1^3 dz = 3 - 1 = 2

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
2e times 4,5 times 2pi times 2 = 36, e, pi

Resposta

A integral vale 36, e, pi.

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