Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(d) .
(
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa calcular a integral tripla , onde e a região é definida por e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a região é um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação representa um cilindro circular com raio 3, e a condição define a altura desse cilindro entre os planos e . Então, estamos lidando com um cilindro de altura 2.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , onde:
permanece o mesmo.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Assim, a integral tripla fica:
Passo 4
Vamos resolver as integrais uma de cada vez:
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Passo 5
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais: