Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla onde e a região é definida por e . Isso tudo está dentro do conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como converter as condições da região para coordenadas esféricas e, assim, definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve uma esfera de raio centrada na origem. A segunda condição, , pode ser reescrita como , onde usamos coordenadas esféricas (, , ). Isso define duas cones duplos com abertura de graus em relação ao eixo .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para r, phi e theta:
Para r: A esfera tem raio 2, então 0 <= r <= 2.
Para theta: Como não há restrição em theta, ele varia de 0 a 2pi.
Para phi: A condição z^2 <= x^2 + y^2 se transforma em cos^2phi <= sin^2phi, o que simplifica para tanphi >= 1. Assim, phi varia de pi4 a 3pi4.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla:
integral triplaW 1 , dV = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral0^2 r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta