Exercício 1. Calcule a integral integral duplaW f(x, y, z) d x d y d z para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
© f(x, y, z)=1 e W=(x, y, z) ; x^2+y^2+z^2 <= 4 e z^2 <= x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral tripla integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz onde f(x, y, z) = 1 e a região W é definida por x^2 + y^2 + z^2 <= 4 e z^2 <= x^2 + y^2. Isso tudo está dentro do conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como converter as condições da região W para coordenadas esféricas e, assim, definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W. A condição x^2 + y^2 + z^2 <= 4 descreve uma esfera de raio 2 centrada na origem. A segunda condição, z^2 <= x^2 + y^2, pode ser reescrita como z^2 <= r^2 sin^2phi, onde usamos coordenadas esféricas ( r, phi, theta). Isso define duas cones duplos com abertura de 45 graus em relação ao eixo z.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
E o elemento de volume é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para r, phi e theta:
  1. Para r: A esfera tem raio 2, então 0 <= r <= 2.
  2. Para theta: Como não há restrição em theta, ele varia de 0 a 2pi.
  3. Para phi: A condição z^2 <= x^2 + y^2 se transforma em cos^2phi <= sin^2phi, o que simplifica para tanphi >= 1. Assim, phi varia de pi4 a 3pi4.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla:
integral triplaW 1 , dV = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral0^2 r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integral em r:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83
  1. Integral em phi:
integralpi4^3pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]pi4^3pi4 = -cos(3pi4) + cos(pi4) = raiz2
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
83 times raiz2 times 2pi = 16raiz2pi3

Resposta

A integral vale dfrac16 raiz2 pi3.

Exercícios relacionados