Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(b) é a região do primeiro octante limitada pela superfície os planos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre a região no primeiro octante. O primeiro octante significa que são todos maiores ou iguais a zero. A região está limitada pela superfície , pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites de integração e entender bem a geometria dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como estamos no primeiro octante, . A superfície nos dá a relação entre e os outros dois eixos. Além disso, os planos e vão nos ajudar a definir os limites para e .

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração para facilitar. Vamos integrar em primeiro, depois em , e por último em . Então, para cada e , vai de 0 até .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites para e . Olhando para os planos e , vemos que para cada , vai de 0 até . E varia de 0 até 1.

Passo 5

Então, nossa integral tripla fica assim:

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, sobra integrar em relação a :

Resposta

A integral tripla vale .

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Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
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Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
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