Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(b)
é a região do primeiro octante limitada pela superfície
os planos
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de
sobre a região
no primeiro octante. O primeiro octante significa que
são todos maiores ou iguais a zero. A região
está limitada pela superfície
, pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites de integração e entender bem a geometria dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como estamos no primeiro octante,
. A superfície
nos dá a relação entre
e os outros dois eixos. Além disso, os planos
e
vão nos ajudar a definir os limites para
e
.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração para facilitar. Vamos integrar em
primeiro, depois em
, e por último em
. Então, para cada
e
,
vai de 0 até
.
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites para
e
. Olhando para os planos
e
, vemos que para cada
,
vai de 0 até
. E
varia de 0 até 1.
Passo 5
Então, nossa integral tripla fica assim:
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Agora, sobra integrar em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.
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ângulo entre os planos
Um belo dia o professor ONEA está passeando, tranquilo e calmo. Quando ele olha para trás e vê um grupo de estudantes correndo em sua direção e perguntando a velha pergunta de sempre, que é: -Professor já corrigiu a prova. Desesperando o professor resolva fugir e corre em direção ao rio. Do lado esquerdo do rio o barranco tem uma altura de 5 metros e do lado direito 3,5 metros. O rio tem uma largura de 3,8 metros. O professor salta com uma velocidade horizontal de
. Conseguirá o professor saltar o rio e escapar dos estudantes? Calcule e ajude esse pobre professor.
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(d) .
(
(d)
(
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
© e
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