Exercício 1. Calcule a integral integral duplaW f(x, y, z) d x d y d z para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(b) f(x, y, z)=x y^2 z^3 e W é a região do primeiro octante limitada pela superfície z=x y e os planos y=x, e x=1 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla de sobre a região no primeiro octante. O primeiro octante significa que são todos maiores ou iguais a zero. A região está limitada pela superfície , pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar os limites de integração e entender bem a geometria dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Como estamos no primeiro octante, . A superfície nos dá a relação entre e os outros dois eixos. Além disso, os planos e vão nos ajudar a definir os limites para e .

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração para facilitar. Vamos integrar em primeiro, depois em , e por último em . Então, para cada e , vai de 0 até .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites para e . Olhando para os planos e , vemos que para cada , vai de 0 até . E varia de 0 até 1.

Passo 5

Então, nossa integral tripla fica assim:
integralx=0^1 integraly=0^x integralz=0^xy x y^2 z^3 , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a integral0^xy x y^2 z^3 , dz = x y^2 [ z^44 ]0^xy = x y^2 ( (xy)^44 - 0 ) = x y^2 (x^4 y^4)4 = x^5 y^64 :

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^1 integral0^x x^5 y^64 , dy , dx
Vamos integrar em relação a x^54 integral0^x y^6 , dy = x^54 [ y^77 ]0^x = x^54 cdot x^77 = x^1228 :

Passo 8

Agora, sobra integrar em relação a integral0^1 x^1228 , dx = 128 [ x^1313 ]0^1 = 128 cdot 113 = 1364 :

Resposta

A integral tripla vale .

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