Determinar o valor de m para que seja de ângulo entre os planos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que o ângulo entre os planos e seja de . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre dois planos através de seus vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é . Então:
  • Para , o vetor normal é .
  • Para , o vetor normal é .

Passo 3

A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Onde é o produto escalar e é o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 5:

Passo 8

Agora, vamos isolar os termos:
Expandindo e simplificando:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática dividindo todos os termos por 2:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de são:

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(b) é a região do primeiro octante limitada pela superfície os planos .
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(d) .


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