Determinar o valor de m para que seja de
ângulo entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que o ângulo entre os planos
e
seja de
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo entre dois planos através de seus vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano
é
. Então:
- Para
, o vetor normal é . - Para
, o vetor normal é .
Passo 3
A fórmula para o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde
é o produto escalar e
é o módulo do vetor.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 5:
Passo 8
Agora, vamos isolar os termos:
Expandindo e simplificando:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática dividindo todos os termos por 2:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os valores de
são:
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Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(b) é a região do primeiro octante limitada pela superfície
os planos
.
(b)
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos, além de fazer um esboço da região de integração.
(d) .
(
(d)
(