Exercício: Considere um capacitor de placas paralelas com área
, distância entre placas
e capacitância no vacuo
. Se introduzirmos entre as placas do capacitor dois dielétricos com constantes dielétricas
e
, espessuras
e
e área
, a nova capacitância passa a ser
. Mostre que
é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas com área
, distância entre as placas
e capacitância no vácuo
. Agora, colocamos dois materiais dielétricos entre as placas: um com constante dielétrica
e espessura
, e outro com constante
e espessura
. O objetivo é mostrar que a nova capacitância
é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias
e
.
Vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como calcular a capacitância equivalente de capacitores em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Quando colocamos um dielétrico entre as placas, a capacitância muda para:
Aqui,
é a constante dielétrica do material.
Passo 3
No nosso caso, temos dois dielétricos com constantes
e
, e espessuras
e
respectivamente. Podemos pensar nesses dois dielétricos como dois capacitores separados, um com capacitância
e outro com
, já que cada um ocupa uma parte da distância total
.
Então, as capacitâncias individuais são:
Passo 4
Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente
é dada pela seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso aqui para encontrar a capacitância total do sistema com os dois dielétricos.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 6
Fatorando
em comum:
Então, invertendo para achar
:
Resposta
A capacitância
é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com as capacitâncias
e
: