Exercício: Considere um capacitor de placas paralelas com área A, distância entre placas d e capacitância no vacuo C0. Se introduzirmos entre as placas do capacitor dois dielétricos com constantes dielétricas kappa1 e kappa2, espessuras d1 e d2=d-d1 e área A, a nova capacitância passa a ser C. Mostre que C é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias C1=kappa1 epsilon0 A / d1 e C2=kappa2 epsilon0 A / d2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas com área , distância entre as placas e capacitância no vácuo . Agora, colocamos dois materiais dielétricos entre as placas: um com constante dielétrica e espessura , e outro com constante e espessura . O objetivo é mostrar que a nova capacitância é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias e .
Vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como calcular a capacitância equivalente de capacitores em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico é dada por:
C0 = epsilon0 Ad
onde C = kappa epsilon0 Ad é a permissividade do vácuo.
Quando colocamos um dielétrico entre as placas, a capacitância muda para:
Aqui, é a constante dielétrica do material.

Passo 3

No nosso caso, temos dois dielétricos com constantes C1 = kappa1 epsilon0 Ad1 e C2 = kappa2 epsilon0 Ad2 , e espessuras e respectivamente. Podemos pensar nesses dois dielétricos como dois capacitores separados, um com capacitância e outro com , já que cada um ocupa uma parte da distância total .
Então, as capacitâncias individuais são:

Passo 4

Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente 1C = 1C1 + 1C2 é dada pela seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso aqui para encontrar a capacitância total do sistema com os dois dielétricos.

Passo 5

Substituindo 1C = 1kappa1 epsilon0 Ad1 + 1kappa2 epsilon0 Ad2 = d1kappa1 epsilon0 A + d2kappa2 epsilon0 A e na fórmula:

Passo 6

Fatorando 1C = 1epsilon0 A ( d1kappa1 + d2kappa2 ) em comum:
C = epsilon0 Ad1kappa1 + d2kappa2
Então, invertendo para achar :

Resposta

A capacitância C = kappa1 kappa2 epsilon0 Akappa2 d1 + kappa1 d2 é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com as capacitâncias e :

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