Exercício: Considere um capacitor de placas paralelas com área , distância entre placas e capacitância no vacuo . Se introduzirmos entre as placas do capacitor dois dielétricos com constantes dielétricas e , espessuras e e área , a nova capacitância passa a ser . Mostre que é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um capacitor de placas paralelas com área , distância entre as placas e capacitância no vácuo . Agora, colocamos dois materiais dielétricos entre as placas: um com constante dielétrica e espessura , e outro com constante e espessura . O objetivo é mostrar que a nova capacitância é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com capacitâncias e .
Vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como calcular a capacitância equivalente de capacitores em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico é dada por:
onde é a permissividade do vácuo.
Quando colocamos um dielétrico entre as placas, a capacitância muda para:
Aqui, é a constante dielétrica do material.

Passo 3

No nosso caso, temos dois dielétricos com constantes e , e espessuras e respectivamente. Podemos pensar nesses dois dielétricos como dois capacitores separados, um com capacitância e outro com , já que cada um ocupa uma parte da distância total .
Então, as capacitâncias individuais são:

Passo 4

Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente é dada pela seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso aqui para encontrar a capacitância total do sistema com os dois dielétricos.

Passo 5

Substituindo e na fórmula:

Passo 6

Fatorando em comum:
Então, invertendo para achar :

Resposta

A capacitância é igual à capacitância equivalente de dois capacitores em série com as capacitâncias e :

Exercícios relacionados

Quantos joules devem ser fornecidos para 60 g de gelo a derreter e ainda aumentar a temperatura da água até ?
Um carro de 1400 kg viajando a é parado aplicando os freios. Se o calor específico de aço é .K, que massa total de aço deve estar contida nos tambores de freio de aço para que a temperatura do freio não suba mais do que ?
Uma casa contém de concreto ( ). a) Qual calor liberado pelo concreto quando esfria de 25 para ? b) Quantos quilogramas de gelo esse calor derreteria a zero grau Celsius?
Um freio eletromagnético que utiliza as correntes de Foucault consiste de um disco de condutividade e espessura girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, com um campo magnético B aplicado perpendicularmente ao plano do disco sobre uma pequena área . Se a área está a uma distância do eixo, determinar uma expressão aproximada para o torque que tende a desacelerar o disco no instante em que sua velocidade angular é igual a .