Um freio eletromagnético que utiliza as correntes de Foucault consiste de um disco de condutividade sigma e espessura t girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, com um campo magnético B aplicado perpendicularmente ao plano do disco sobre uma pequena área a^2. Se a área a^2 está a uma distância r do eixo, determinar uma expressão aproximada para o torque que tende a desacelerar o disco no instante em que sua velocidade angular é igual a omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre freios eletromagnéticos que utilizam correntes de Foucault, né? O negócio envolve conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre indução de correntes em um disco condutor que está girando dentro de um campo magnético. Para resolver isso, vamos precisar entender como as correntes de Foucault são induzidas e como elas geram um torque que desacelera o disco. Então, vamos passo a passo descobrir a expressão para esse torque.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando o disco condutor está girando em um campo magnético. Conforme o disco gira, as cargas livres no material (como elétrons) se movem através do campo magnético, e isso induz uma força nas cargas, de acordo com a Lei de Lorentz. Essa força faz com que correntes elétricas, chamadas correntes de Foucault ou correntes parasitas, fluam no disco.
A força F = q (v times B) experimentada por uma carga movendo-se com velocidade em um campo magnético é dada por:
Essas correntes, por sua vez, criam um campo magnético que se opõe à causa que as gera, conforme a Lei de Lenz. Isso resulta em uma força de resistência que atua contra a rotação do disco, produzindo um torque que desacelera o disco.

Passo 3

Vamos calcular a força induzida nas cargas devido à rotação do disco. Se o disco está girando com velocidade angular v = omega r e um ponto na área F = q v B = q omega r B está a uma distância do eixo, a velocidade linear desse ponto é:
A força sobre uma carga nesse ponto é então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente induzida. Sabemos que a corrente J = sigma E é a quantidade de carga que passa por uma área por unidade de tempo. Se considerarmos que a espessura do disco é E = Fq = omega r B e a área onde o campo magnético é aplicado é J = sigma omega r B , a densidade de corrente I = J cdot a^2 = sigma omega r B a^2 pode ser expressa como:
Onde é a condutividade elétrica do material e é o campo elétrico induzido. O campo elétrico relacionado à força é:
Portanto, a densidade de corrente fica:
A corrente total na área é então:

Passo 5

Com a corrente Ftotal = I B a^2 = sigma omega r B^2 a^2 conhecida, podemos calcular a força magnética total tau = Ftotal cdot r = sigma omega r^2 B^2 a^2 que atua na área :
Essa força atua a uma distância do eixo de rotação, gerando o torque :

Resposta

A expressão aproximada para o torque que tende a desacelerar o disco é:
tau = sigma , omega , r^2 , B^2 , a^2

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