Exercício 7:

Considere dois anéis não condutores concêntricos, um de raio R1 e outro de raio R2 com R2>R1. Assumindo que os anéis 1 e 2 apresentem, respectivamente, as seguintes distribuições de carga linear
lambda1(theta^prime)=lll +lambda0 & para & 0
onde lambda0 é positivo. Calcule o campo elétrico no eixo z perpendicular ao centro. Em seguida, ao fazermos z>>R1 e R2, o que você conclui?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois anéis não condutores que são concêntricos, ou seja, compartilham o mesmo centro, mas têm raios diferentes: e , com . Cada anel tem uma distribuição de carga linear que varia com o ângulo . Nosso objetivo é calcular o campo elétrico no eixo que é perpendicular ao centro desses anéis. Depois, vamos analisar o que acontece quando é muito maior que e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga ao longo de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga nos dois anéis. Para o anel 1:
lambda1(theta') = +lambda0 & para 0 < theta' < pi -lambda0 & para pi < theta' < 2pi
E para o anel 2:
lambda2(theta') = -lambda0 & para 0 < theta' < pi +lambda0 & para pi < theta' < 2pi
Isso significa que a carga varia ao redor dos anéis, alternando entre positiva e negativa em diferentes setores.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo Ez = 14pivarepsilon0 cdot Q z(z^2 + R^2)^3/2 devido a cada anel separadamente. Para um anel de raio com carga total , o campo elétrico no eixo é dado por:
No nosso caso, como a carga varia com , precisamos integrar essa expressão sobre todo o ângulo de 0 a .

Passo 4

Vamos considerar o anel 1. A carga infinitesimal em um pequeno segmento de ângulo dEz1 = 14pivarepsilon0 cdot lambda1(theta') R1 dtheta' cdot z(z^2 + R1^2)^3/2 é Ez1 = lambda0 R1 z4pivarepsilon0 (z^2 + R1^2)^3/2 ( integral0^pi dtheta' - integralpi^2pi dtheta' ) = 0 . Substituindo na expressão do campo:
Integrando de 0 a :
Isso porque as cargas positivas e negativas se cancelam devido à simetria.

Passo 5

Fazendo o mesmo para o anel 2:
dq = lambda2(theta') R2 dtheta'
dEz2 = 14pivarepsilon0 cdot lambda2(theta') R2 dtheta' cdot z(z^2 + R2^2)^3/2
Integrando de 0 a Ez2 = lambda0 R2 z4pivarepsilon0 (z^2 + R2^2)^3/2 ( -integral0^pi dtheta' + integralpi^2pi dtheta' ) = 0 :
Mais uma vez, as cargas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Portanto, o campo elétrico total no eixo Ez = Ez1 + Ez2 = 0 + 0 = 0 é a soma dos campos dos dois anéis:

Passo 7

Agora, vamos analisar o que acontece quando Ez approx lambda0 R z4pivarepsilon0 z^3 = lambda0 R4pivarepsilon0 z^2 é muito maior que e , ou seja, . Nesse caso, a expressão para o campo elétrico simplifica, já que domina sobre :
Mas como vimos que o campo total é zero para qualquer , mesmo quando é grande, concluímos que o campo elétrico permanece nulo no eixo nessa condição.

Resposta

O campo elétrico total no eixo é igual a zero, mesmo quando é muito maior que e .

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