Exercício 8:

Considere um plano infinito em x y e z=0 com uma densidade de carga superficial sigma0 constante e positiva.
Mantendo o plano z=0 com densidade positiva. Colocando um outro plano de mesma densidade superfícial em z=a. Qual será o campo elétrico em z<0,0 e z>a ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um plano infinito no espaço com uma densidade de carga superficial constante e positiva, representada por . A gente tem dois desses planos: um no plano e outro em . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico nas três regiões diferentes: , e . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss para campos elétricos produzidos por superfícies carregadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico criado por um único plano infinito com densidade de carga superficial E = sigma02varepsilon0 . A fórmula conhecida é:
onde é a permissividade do vácuo. Esse campo é perpendicular ao plano e aponta para fora se a carga for positiva.

Passo 3

Agora, temos dois planos carregados positivamente: um em e outro em . Vamos analisar o campo elétrico em cada região considerando a superposição dos campos produzidos por cada plano.

Passo 4

Para Etotal = sigma02varepsilon0 + sigma02varepsilon0 = sigma0varepsilon0 :
  • O campo criado pelo plano em aponta para baixo (direção ).
  • O campo criado pelo plano em também aponta para baixo, já que está acima e a carga é positiva.
Então, o campo total é a soma desses dois campos:
E direcionado para .

Passo 5

Para Etotal = sigma02varepsilon0 - sigma02varepsilon0 = 0 :
  • O campo criado pelo plano em aponta para cima (direção ).
  • O campo criado pelo plano em aponta para baixo (direção ).
Como os campos estão em direções opostas, eles se cancelam:
Assim, não há campo elétrico nessa região.

Passo 6

Para Etotal = sigma02varepsilon0 + sigma02varepsilon0 = sigma0varepsilon0 :
  • O campo criado pelo plano em aponta para cima (direção ).
  • O campo criado pelo plano em também aponta para cima, já que ambos estão abaixo e a carga é positiva.
Somando os dois campos:
E direcionado para .

Resposta

O campo elétrico é:
E = -,dfracsigma0varepsilon0 z, & para z < 0 E = 0, & para 0 < z < a E = dfracsigma0varepsilon0 z, & para z > a

Exercícios relacionados