Exercício 3: Considere a transformada de Laplace inversa a seguir:
onde
foi dado anteriormente. Queremos resolver:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Você vai precisar conhecer a decomposição em frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Observe que o
no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, nossa tarefa é encontrar:
Passo 3
Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador. Isso significa reescrever
de uma forma que envolva um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, reconhecemos que essa forma se parece com a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um seno. A fórmula que vamos usar é:
Comparando com nossa expressão, identificamos:
-
(porque temos , que é ) -
Passo 5
Vamos ajustar nossa expressão para que ela se encaixe exatamente na fórmula. Queremos ter o numerador igual a
, que no nosso caso é 2. Felizmente, já temos:
Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula inversa.
Passo 6
Aplicando a fórmula inversa da transformada de Laplace, temos:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é: