Exercício 3: Considere a transformada de Laplace inversa a seguir:
onde
foi dado anteriormente. Queremos resolver:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Você vai precisar conhecer a decomposição em frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Observe que o
no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, nossa tarefa é encontrar:
Passo 3
Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador. Isso significa reescrever
de uma forma que envolva um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, reconhecemos que essa forma se parece com a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um seno. A fórmula que vamos usar é:
Comparando com nossa expressão, identificamos:
-
(porque temos , que é ) -
Passo 5
Vamos ajustar nossa expressão para que ela se encaixe exatamente na fórmula. Queremos ter o numerador igual a
, que no nosso caso é 2. Felizmente, já temos:
Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula inversa.
Passo 6
Aplicando a fórmula inversa da transformada de Laplace, temos:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é:
Exercícios relacionados
Exercício 2: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
onde,
e
foram dados anteriormente. Desse modo, a equação acima pode ser reescrita, ficando do seguinte modo:
Na descarga, o capacitor descarrega sobre o resistor, de forma que sua tensão descreve uma curva exponencial decrescente. Neste caso, o capacitor comporta-se como uma fonte de tensão, cuja capacidade de fornecimento de corrente é limitada pelo tempo de descarga. A expressão da tensão sobre o resistor equivalente
nessas condições é dada por:
Carga 3: Tem-se que a potência reativa
, indicando uma potência reativa capacitiva devido ao sinal e o fator de potência
. O fator é potência é o cosseno do ângulo de fase, isto é,
sendo,
o ângulo de fase. Dado o valor de
, tem-se que
, o sinal negativo indica o sentido da potência reativa no plano. Por outro lado, tendo como referência o triangulo de potências, podemos escrever:
ou,
O capacitor armazena energia na forma de campo elétrico. Ele se opõe a variações rápidas de tensão, fornecendo uma reatância capacitiva ao circuito. Assim como a reatância indutiva, a reatância capacitiva depende da frequência da corrente e do valor do capacitor.