Exercício 3: Considere a transformada de Laplace inversa a seguir:
onde foi dado anteriormente. Queremos resolver:

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Você vai precisar conhecer a decomposição em frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Observe que o no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, nossa tarefa é encontrar:

Passo 3

Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador. Isso significa reescrever de uma forma que envolva um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa forma se parece com a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um seno. A fórmula que vamos usar é:
Comparando com nossa expressão, identificamos:
  • (porque temos , que é )

Passo 5

Vamos ajustar nossa expressão para que ela se encaixe exatamente na fórmula. Queremos ter o numerador igual a , que no nosso caso é 2. Felizmente, já temos:
Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula inversa.

Passo 6

Aplicando a fórmula inversa da transformada de Laplace, temos:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:

Exercícios relacionados

Exercício 2: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
onde, e foram dados anteriormente. Desse modo, a equação acima pode ser reescrita, ficando do seguinte modo:
Na descarga, o capacitor descarrega sobre o resistor, de forma que sua tensão descreve uma curva exponencial decrescente. Neste caso, o capacitor comporta-se como uma fonte de tensão, cuja capacidade de fornecimento de corrente é limitada pelo tempo de descarga. A expressão da tensão sobre o resistor equivalente nessas condições é dada por:
Carga 3: Tem-se que a potência reativa , indicando uma potência reativa capacitiva devido ao sinal e o fator de potência . O fator é potência é o cosseno do ângulo de fase, isto é,
sendo, o ângulo de fase. Dado o valor de , tem-se que , o sinal negativo indica o sentido da potência reativa no plano. Por outro lado, tendo como referência o triangulo de potências, podemos escrever:
ou,
O capacitor armazena energia na forma de campo elétrico. Ele se opõe a variações rápidas de tensão, fornecendo uma reatância capacitiva ao circuito. Assim como a reatância indutiva, a reatância capacitiva depende da frequência da corrente e do valor do capacitor.