Exercício 3: Considere a transformada de Laplace inversa a seguir:
L^-1Y ss(s^2+2 s+5)
onde Y foi dado anteriormente. Queremos resolver:
L^-12 ss(s^2+2 s+5)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de:
L^-12 ss(s^2+2 s+5)
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Você vai precisar conhecer a decomposição em frações parciais e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. Observe que o s no numerador e no denominador se cancelam:
2 ss(s^2+2 s+5) = 2s^2 + 2s + 5
Agora, nossa tarefa é encontrar:
L^-12s^2 + 2s + 5

Passo 3

Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador. Isso significa reescrever s^2 + 2s + 5 de uma forma que envolva um quadrado perfeito:
s^2 + 2s + 5 = (s^2 + 2s + 1) + 4 = (s + 1)^2 + 4
Então, a expressão fica:
2(s + 1)^2 + 4

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa forma se parece com a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um seno. A fórmula que vamos usar é:
Le^at sin(bt) = b(s - a)^2 + b^2
Comparando com nossa expressão, identificamos:
  • a = -1 (porque temos (s + 1), que é s - (-1))
  • b^2 = 4 Rightarrow b = 2

Passo 5

Vamos ajustar nossa expressão para que ela se encaixe exatamente na fórmula. Queremos ter o numerador igual a b, que no nosso caso é 2. Felizmente, já temos:
2(s + 1)^2 + 4
Portanto, podemos aplicar diretamente a fórmula inversa.

Passo 6

Aplicando a fórmula inversa da transformada de Laplace, temos:
L^-12(s + 1)^2 + 4 = e^-t sin(2t)

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:
e^-t sin(2t)

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