Exercício 2: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
L^-1R s+E(s+2)^2
onde, R e E foram dados anteriormente. Desse modo, a equação acima pode ser reescrita, ficando do seguinte modo:
L^-16 s+1(s+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace inversa juntos! O enunciado nos pede para encontrar a transformada inversa de:
L^-16 s+1(s+2)^2
Aqui, estamos trabalhando com a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas da transformada de Laplace e como manusear frações racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. A fração é:
6 s + 1(s + 2)^2
Podemos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fazer a divisão de polinômios. Dividindo por , percebemos que não é possível dividir diretamente porque o grau do numerador é menor que o do denominador. Então, em vez disso, vamos decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.

Passo 4

A forma geral para decompor uma fração como essa é assumir que ela pode ser escrita como:
6 s + 1(s + 2)^2 = As + 2 + B(s + 2)^2
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 6 s + 1 = A(s + 2) + B para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar e .

Passo 6

Expandindo o lado direito:
6 s + 1 = A s + 2A + B
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
6 s + 1 = (A) s + (2A + B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 7

Comparando os coeficientes, temos:
Para o termo A = 6 :
2A + B = 1
Para o termo constante:
Já que sabemos que , substituímos na segunda equação para encontrar .

Passo 8

Substituindo 2 times 6 + B = 1 12 + B = 1 B = 1 - 12 B = -11 na equação :
Então, e .

Passo 9

Agora, substituímos 6 s + 1(s + 2)^2 = 6s + 2 + -11(s + 2)^2 e 6 s + 1(s + 2)^2 = 6s + 2 - 11(s + 2)^2 de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos usar as tabelas de transformadas de Laplace inversas para encontrar L^-11s + a = e^-a t de cada termo.
Sabemos que:
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
e

Passo 11

Aplicando essas regras aos nossos termos:
Para 6 cdot L^-11s + 2 = 6 e^-2 t :
-11 cdot L^-11(s + 2)^2 = -11 t e^-2 t
Para :

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa é:
6 e^-2 t - 11 t e^-2 t

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