Exercício 2: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
onde,
e
foram dados anteriormente. Desse modo, a equação acima pode ser reescrita, ficando do seguinte modo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace inversa juntos! O enunciado nos pede para encontrar a transformada inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas da transformada de Laplace e como manusear frações racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. A fração é:
Podemos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos fazer a divisão de polinômios. Dividindo
por
, percebemos que não é possível dividir diretamente porque o grau do numerador é menor que o do denominador. Então, em vez disso, vamos decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.
Passo 4
A forma geral para decompor uma fração como essa é assumir que ela pode ser escrita como:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar
e
.
Passo 6
Expandindo o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 7
Comparando os coeficientes, temos:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Já que sabemos que
, substituímos na segunda equação para encontrar
.
Passo 8
Substituindo
na equação
:
Então,
e
.
Passo 9
Agora, substituímos
e
de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos usar as tabelas de transformadas de Laplace inversas para encontrar
de cada termo.
Sabemos que:
e
Passo 11
Aplicando essas regras aos nossos termos:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa é: