Exercício 2: Considere a seguinte transformada de Laplace inversa:
onde, e foram dados anteriormente. Desse modo, a equação acima pode ser reescrita, ficando do seguinte modo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa transformada de Laplace inversa juntos! O enunciado nos pede para encontrar a transformada inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas da transformada de Laplace e como manusear frações racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos. A fração é:
Podemos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fazer a divisão de polinômios. Dividindo por , percebemos que não é possível dividir diretamente porque o grau do numerador é menor que o do denominador. Então, em vez disso, vamos decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.

Passo 4

A forma geral para decompor uma fração como essa é assumir que ela pode ser escrita como:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar e .

Passo 6

Expandindo o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 7

Comparando os coeficientes, temos:
Para o termo :
Para o termo constante:
Já que sabemos que , substituímos na segunda equação para encontrar .

Passo 8

Substituindo na equação :
Então, e .

Passo 9

Agora, substituímos e de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos usar as tabelas de transformadas de Laplace inversas para encontrar de cada termo.
Sabemos que:
e

Passo 11

Aplicando essas regras aos nossos termos:
Para :
Para :

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa é:

Exercícios relacionados

Na descarga, o capacitor descarrega sobre o resistor, de forma que sua tensão descreve uma curva exponencial decrescente. Neste caso, o capacitor comporta-se como uma fonte de tensão, cuja capacidade de fornecimento de corrente é limitada pelo tempo de descarga. A expressão da tensão sobre o resistor equivalente nessas condições é dada por:
Importante observar que para , a tensão no capacitor cresce até da tensão da fonte, ou seja, , onde . A tensão no capacitor cresce exponencialmente desde zero até a tensão , quando a sua carga é total. Portanto, a tensão no capacitor é uma exponencial crescente, cuja equação de carga é dada por:
Exercício 3: Considere a transformada de Laplace inversa a seguir:
onde foi dado anteriormente. Queremos resolver:
Carga 3: Tem-se que a potência reativa , indicando uma potência reativa capacitiva devido ao sinal e o fator de potência . O fator é potência é o cosseno do ângulo de fase, isto é,
sendo, o ângulo de fase. Dado o valor de , tem-se que , o sinal negativo indica o sentido da potência reativa no plano. Por outro lado, tendo como referência o triangulo de potências, podemos escrever:
ou,