Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
sumn=1^infty ln (1+1n)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que soma os termos para indo de 1 até o infinito. O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer o Critério da Divergência, que nos ajuda a determinar se uma série não converge mesmo que os termos tendam a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento dos termos da série quando limn to infty ln (1+1n) tende a infinito. Calculamos o limite:
ln (1+1n) approx 1n quando n é grande
Como limn to infty ln (1+1n) = 0 tende a zero quando cresce, temos:
é
Portanto,
Isso mostra que os termos da série tendem a zero, mas isso por si só não garante que a série converge.

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério da Divergência, que diz que se o limite dos termos de uma série não for zero, a série diverge. Aqui, embora o limite seja zero, precisamos analisar mais a fundo para confirmar a divergência.
Vamos comparar a nossa série com a série harmônica ln (1+1n) approx 1n , que sabemos que diverge.
Sabemos que para grande,
Então, a nossa série se comporta de forma semelhante à série harmônica.

Passo 4

Para formalizar, vamos usar a comparação direta. Como para todo , e a série também diverge (já que é apenas a série harmônica iniciada em ), concluímos que a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge, apesar dos termos tenderem a zero.

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