Mostre que, apesar dos termos da série abaixo tenderem a zero, a série diverge.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que soma os termos
para
indo de 1 até o infinito. O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer o Critério da Divergência, que nos ajuda a determinar se uma série não converge mesmo que os termos tendam a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento dos termos da série quando
tende a infinito. Calculamos o limite:
Como
tende a zero quando
cresce, temos:
Portanto,
Isso mostra que os termos da série tendem a zero, mas isso por si só não garante que a série converge.
Passo 3
Agora, aplicamos o Critério da Divergência, que diz que se o limite dos termos de uma série não for zero, a série diverge. Aqui, embora o limite seja zero, precisamos analisar mais a fundo para confirmar a divergência.
Vamos comparar a nossa série com a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Sabemos que para
grande,
Então, a nossa série se comporta de forma semelhante à série harmônica.
Passo 4
Para formalizar, vamos usar a comparação direta. Como
para todo
, e a série
também diverge (já que é apenas a série harmônica iniciada em
), concluímos que a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge, apesar dos termos tenderem a zero.
Exercícios relacionados
Invetigue o caráter das seguintes séries:
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
;
Exercício 3. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda para a função
no ponto:
.