Exercício 5. Mostre que
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada da função arco seno, , é igual a . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Ou seja, a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função original avaliada no ponto correspondente.

Passo 3

Sabemos que , então queremos encontrar . A derivada de em relação a é :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada da função inversa:
Mas como , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem seno igual a . Então, a hipotenusa é e o cateto oposto é .

Passo 5

Usando o teorema de Pitágoras, o cateto adjacente será:
Portanto:

Resposta

A derivada de é:

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Exercício 4. Encontre das seguintes expressões:
(b) ;
Exercício 4. Encontre das seguintes expressões:
(a)
Exercício 6. 2. Se , encontre ;
Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade: