Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada da função arco seno, , é igual a . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Ou seja, a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função original avaliada no ponto correspondente.
Passo 3
Sabemos que , então queremos encontrar . A derivada de em relação a é :
Passo 4
Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada da função inversa:
Mas como , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem seno igual a . Então, a hipotenusa é e o cateto oposto é .
Passo 5
Usando o teorema de Pitágoras, o cateto adjacente será: