Exercício 5. Mostre que
© arcsin'(x) = 1 / raiz(1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a derivada da função arco seno, , é igual a . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função inversa pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Ou seja, a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função original avaliada no ponto correspondente.

Passo 3

Sabemos que , então queremos encontrar . A derivada de em relação a y é :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada da função inversa:
Mas como , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo y tem seno igual a x. Então, a hipotenusa é 1 e o cateto oposto é x.

Passo 5

Usando o teorema de Pitágoras, o cateto adjacente será:
Portanto:

Resposta

A derivada de é:

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