Exercício 4. Encontre
das seguintes expressões:
(b)
;
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a equação
e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita.
Passo 2
A derivação implícita é usada quando
está definida de forma implícita em termos de
, como nessa equação. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: Aqui usamos a regra da cadeia, poisé uma função de . -
Derivada de
: Aplicamos a regra do produto para derivar. -
Derivada de 1:
Passo 4
Juntando todas as derivadas, a equação fica:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 6
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A derivada
é:
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Exercício 4. Encontre
das seguintes expressões:
(a)
(a)
Exercício 3. Calcule a primeira derivada das seguintes funções:
(i) ;
(i)
Exercício 5. Mostre que
©
©
Exercício 6. 2. Se
, encontre
;