Exercício 4. Encontre y'(x) das seguintes expressões:
(b) x^3 + y^3 - 3xy + 1 = 0;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita.

Passo 2

A derivação implícita é usada quando está definida de forma implícita em termos de , como nessa equação. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
    Aqui usamos a regra da cadeia, pois é uma função de .
  3. Derivada de :
    Aplicamos a regra do produto para derivar .
  4. Derivada de 1:

Passo 4

Juntando todas as derivadas, a equação fica:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 6

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 7

Isolando , dividimos ambos os lados por :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A derivada é:

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