Exercício 4. Encontre y'(x) das seguintes expressões:
(a) x^2 + y^2 = 2^(ln(1.02))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de em relação a na equação . Isso tá dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação para funções implícitas e entender um pouco sobre logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Temos . Lembrando que , mas nesse caso, podemos simplificar mais fácil:
No entanto, para facilitar, vamos deixar como está, já que a simplificação não é essencial para encontrar a derivada.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A equação é:
Derivando termo por termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a requer a regra da cadeia. Primeiro, derivamos em relação a , que dá , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .
  • A derivada de uma constante, como , é zero.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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