Exercício 4. Encontre
das seguintes expressões:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de
em relação a
na equação
. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas implícitas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação para funções implícitas e entender um pouco sobre logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Temos
. Lembrando que
, mas nesse caso, podemos simplificar mais fácil:
No entanto, para facilitar, vamos deixar como está, já que a simplificação não é essencial para encontrar a derivada.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A equação é:
Derivando termo por termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a requer a regra da cadeia. Primeiro, derivamos em relação a , que dá , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . - A derivada de uma constante, como
, é zero.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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(i) ;
(i)
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das seguintes expressões:
(b) ;
(b)
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