Exercício 2: Uma placa de madeira 12 times 12 times 1 in é exposta ao ar seco. A umidade que está em seu interior se difunde para a superfície, evapora e migra para a corrente de ar. A umidade na superfície da placa permanece constante no valor de 7,5% (base seca) durante a secagem. Após 10 horas, a umidade no centro da placa diminui de 17,6% para 11,1% (base seca). Se o coeficiente convectivo de transferência de massa pode ser considerado suficientemente grande para se despreza a transferência de massa na superfície ( m=0 ). Dado: DA B=2,4 times 10^-9 m^2 / s.
Calcule:
a) A umidade no centro da placa se todas as 6 faces forem expostas ao ar de secagem no mesmo período (10horas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma placa de madeira com dimensões de 12x12x1 polegadas que está secando no ar seco. A umidade dentro da madeira está se movendo para a superfície, evaporando e indo para o ar. No centro da placa, a umidade baixou de 17,6% para 11,1% em 10 horas. A pergunta aqui é: se todas as 6 faces da placa estiverem expostas ao ar de secagem durante essas mesmas 10 horas, qual será a umidade no centro da placa? Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de massa e a equação de solução para placas finitas. Vamos precisar entender como a umidade se difunde na madeira e como expor mais faces afeta esse processo.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as dimensões da placa de polegadas para metros, já que o coeficiente de difusão está em metros quadrados por segundo. Sabemos que 1 polegada é igual a 0,0254 metros.
As dimensões são:
  • Largura (L) = 12 in = 12 × 0,0254 m = 0,3048 m
  • Comprimento (L) = 12 in = 0,3048 m
  • Espessura (2L) = 1 in = 0,0254 m ⇒ L = 0,0127 m

Passo 3

Agora, vamos usar a solução para a difusão em placas finitas. A umidade no centro da placa ( X = X0 - (X0 - Xe) [ 1 - 8pi^2 e^-pi^2 D t4L^2 ] ) após um tempo pode ser calculada usando a seguinte equação:
Onde:
  • = umidade inicial no centro = 17,6%
  • = umidade na superfície = 7,5%
  • = coeficiente de difusão = m²/s
  • = tempo = 10 horas = 36000 segundos
  • = metade da espessura = 0,0127 m

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação.
Primeiro, calculamos o expoente:
pi^2 D t4L^2 = (pi^2)(2,4 times 10^-9)(36000)4(0,0127)^2
Vamos calcular isso passo a passo:
pi^2 approx 9,8696
9,8696 times 2,4 times 10^-9 = 2,3687 times 10^-8
2,3687 times 10^-8 times 36000 = 8,519 times 10^-4
4 times (0,0127)^2 = 4 times 0,00016129 = 0,00064516
8,519 times 10^-40,00064516 approx 1,318
Então,
e^-1,318 approx 0,267

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação:
X = 17,6% - (17,6% - 7,5%) [ 1 - 8pi^2 times 0,267 ]
Calculando dentro do colchete:
8pi^2 approx 89,8696 approx 0,810
0,810 times 0,267 approx 0,216
1 - 0,216 = 0,784
Então,
X = 17,6% - 10,1% times 0,784 = 17,6% - 7,926% = 9,674%

Resposta

A umidade no centro da placa, com todas as 6 faces expostas ao ar de secagem por 10 horas, será aproximadamente 9,67% (base seca).

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