Exercício 1: As faces de uma folha de papel, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 1 mm de espessura, foram submetidas à secagem por 40 segundos. A umidade inicial da peça é de 25 % em base seca. Admita que a resistência à transferência de massa por convecção seja igual à resistência à difusão no interior do sólido, ou seja, m=1,0, e que a concentração na superfície seja 2,5 % em base seca. Nessas condiçōes a difusividade efetiva no sólido é 1,26.10-5 cm 2 / s. Pede-se:
a) A umidade em base seca no centro da peça;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma folha de papel com certas dimensões que foi seca por 40 segundos. Precisamos encontrar a umidade no centro dela após esse tempo. Vamos usar conceitos de transferência de massa por difusão e convecção para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender a difusividade, a resistência à transferência de massa e como elas influenciam a umidade no material.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da folha:
  • Comprimento: 25 cm
  • Largura: 10 cm
  • Espessura: 1 mm = 0,1 cm
Como estamos interessados na umidade no centro, vamos focar na direção da espessura, que é a menor. Assim, consideraremos a espessura de 0,1 cm como a distância que a umidade percorre do centro até a superfície.

Passo 3

A umidade inicial da folha é de partial Cpartial t = Defetiva partial^2 Cpartial x^2 em base seca, e na superfície após a secagem é de . Queremos encontrar a umidade no centro após 40 segundos.
Vamos usar a equação da difusão para resolver isso. A equação geral da difusão unidimensional é:
Onde:
  • é a concentração de umidade.
  • é a difusividade efetiva.
  • é a posição na espessura.
  • é o tempo.

Passo 4

Como a resistência à transferência de massa por convecção é igual à resistência por difusão no sólido ( C(0,t) = Csuperfície + (Cinicial - Csuperfície) times erf(x2raizDefetiva t) ), podemos simplificar o problema usando a condição de fronteira de Biot número igual a 1. Isso nos permite usar soluções simplificadas para a difusão.
A solução para a concentração no centro de um material finito com simetria pode ser dada por:
C(0,t) = Csuperfície + (Cinicial - Csuperfície) times erf(0) = Csuperfície íí
No centro ( C(0,t) = Csuperfície + (Cinicial - Csuperfície) times e^-kt ):
ííí
Mas isso sugere que no instante inicial, a concentração muda instantaneamente, o que não é realista. Então, para um tempo finito, usamos uma aproximação para a concentração no centro:
íí
Onde é uma constante que depende da geometria e da difusividade.

Passo 5

Calculando a constante k = pi^2 Defetiva(2L)^2 :
Para uma placa homogênea, a constante pode ser aproximada por:
L = 0,1 , cm2 = 0,05 , cm
Onde k = pi^2 times 1,26 times 10^-5 , cm^2/s(0,05 , cm)^2 = 3,947 times 10^-50,0025 = 0,015788 , s^-1 é a metade da espessura:
Substituindo:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da concentração no centro:
C(0,40) = 2,5% + (25% - 2,5%) times e^-0,015788 times 40
Calculando o expoente:
-0,015788 times 40 = -0,6315
Então:
C(0,40) = 2,5% + 22,5% times e^-0,6315
Calculando e^-0,6315 approx 0,532 :
C(0,40) = 2,5% + 22,5% times 0,532 approx 2,5% + 11,97% = 14,47%
Portanto:

Resposta

A umidade em base seca no centro da peça após 40 segundos de secagem é aproximadamente .

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