Exercício 4. (2,0 Pontos)Ache a área da região limitada pela reta de até . Esboce esta região.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a área da região limitada pela reta entre e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que define a reta, que já está dada como . Essa é uma função linear que representa uma linha reta no plano cartesiano.

Passo 3

Para encontrar a área entre e , precisamos integrar essa função nesses limites. A integral definida nos dará a área entre a curva e o eixo nesse intervalo.

Passo 4

Escrevemos a integral definida da função de a :
Á

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. A antiderivada de é e a antiderivada de é . Então:
Como estamos calculando uma área, não precisamos da constante de integração .

Passo 6

Aplicamos os limites de integração e :
Á
Calculando cada parte:

Passo 7

O resultado foi zero, o que significa que a área acima do eixo é igual à área abaixo dele, cancelando-se. Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas os valores positivos, ou seja, somar as áreas absolutas das duas partes.

Passo 8

Primeiro, encontramos onde a reta cruza o eixo ( ):
Então, dividimos a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 9

Calculamos a primeira integral de a :

Passo 10

Calculamos a segunda integral de a :
Tomamos o valor absoluto:

Passo 11

Somamos as duas áreas calculadas:
Á

Resposta

A área da região limitada pela reta entre e é igual a 12,5 unidades quadradas.

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