Exercício 4. (2,0 Pontos)Ache a área da região limitada pela reta
de
até
. Esboce esta região.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a área da região limitada pela reta
entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que define a reta, que já está dada como
. Essa é uma função linear que representa uma linha reta no plano cartesiano.
Passo 3
Para encontrar a área entre
e
, precisamos integrar essa função nesses limites. A integral definida nos dará a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo.
Passo 4
Escrevemos a integral definida da função
de
a
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
. Então:
Como estamos calculando uma área, não precisamos da constante de integração
.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração
e
:
Calculando cada parte:
Passo 7
O resultado foi zero, o que significa que a área acima do eixo
é igual à área abaixo dele, cancelando-se. Para encontrar a área total, precisamos considerar apenas os valores positivos, ou seja, somar as áreas absolutas das duas partes.
Passo 8
Primeiro, encontramos onde a reta cruza o eixo
(
):
Então, dividimos a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 9
Calculamos a primeira integral de
a
:
Passo 10
Calculamos a segunda integral de
a
:
Tomamos o valor absoluto:
Passo 11
Somamos as duas áreas calculadas:
Resposta
A área da região limitada pela reta
entre
e
é igual a 12,5 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade: a distância de
até 2 é menor do que 3
Determine a distância entre os números dados:
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade:
é no máximo 8
Mostre que cada uma das funçőes dadas satisfaz a equação do calor