Exercício 2. (2,0 pts) Dado um triângulo A O B, seja M o ponto médio de A B. Prove geometricamente que O M=12 O A+12 O B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo A O B e um ponto M que é o ponto médio da reta A B. A missão aqui é provar que o vetor O M é igual à metade do vetor O A mais metade do vetor O B. Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e propriedades de pontos médios.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o ponto médio M de A B significa que ele divide a reta A B em duas partes iguais. Ou seja, a distância de A até M é igual à distância de M até B. Em termos de vetores, isso nos dá uma pista de como relacionar O M com O A e O B.

Passo 3

Vamos expressar o vetor O M em termos dos vetores O A e O B. Sabemos que:
A B = O B - O A
Como M é o ponto médio de A B, o vetor de A até M é a metade do vetor A B:
A M = 12 A B = 12 (O B - O A)

Passo 4

Agora, queremos expressar O M. Podemos fazer isso somando o vetor O A com o vetor A M:
O M = O A + A M
Substituindo A M que encontramos:
O M = O A + 12 (O B - O A)

Passo 5

Vamos distribuir a 12 dentro do parêntese:
O M = O A + 12 O B - 12 O A
Agora, combinamos os termos semelhantes:
O M = (1 - 12) O A + 12 O B = 12 O A + 12 O B

Resposta

Assim, demonstramos que O M = 12 O A + 12 O B.

Exercícios relacionados