Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
lim x 2 f(x)=infty, lim x -2^+ f(x)=infty, lim x -2^- f(x)=-infty,
lim x -infty f(x)=0, lim x infty f(x)=0, f(0)=0

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função f(x) que atenda a várias condições de limites. As condições dadas falam sobre o comportamento da função quando x se aproxima de certos valores e para valores muito grandes ou muito pequenos de x. O conteúdo que estamos lidando aqui é cálculo de limites e esboço de gráficos de funções. Para resolver, a gente vai precisar de uma noção de como essas funções se comportam com os limites.

Passo 2

Vamos analisar cada uma das condições fornecidas:
  1. lim x 2 f(x) = infty: Isso significa que quando x se aproxima de 2, o valor de f(x) cresce infinitamente. Essa geralmente é a característica de uma assíntota vertical em x=2.
  2. lim x -2^+ f(x) = infty: Aqui, quando x se aproxima de -2 pela direita (valores maiores que -2, mas se aproximando de -2), a função também vai para o infinito.
  3. lim x -2^- f(x) = -infty: Isso indica que quando x se aproxima de -2 pela esquerda (valores menores que -2), a função vai para menos infinito.
Dessas três condições, podemos concluir que temos uma assíntota vertical em x=-2. À medida que nos aproximamos de -2 a partir da direita, a função cresce até o infinito, e à esquerda de -2, ela desce ao menos infinito.

Passo 3

Agora vamos ver as outras condições:
  1. lim x -infty f(x) = 0: Isso significa que para valores muito negativos de x, a função se aproxima de 0.
  2. lim x infty f(x) = 0: Da mesma forma, para valores muito positivos de x, a função também se aproxima de 0.
  3. f(0) = 0: Aqui, a função deve passar pela origem, ou seja, o ponto (0,0) é uma parte do gráfico.

Passo 4

Com base em tudo isso, vamos pensar em uma função que satisfaça todas essas condições. Uma opção que pode funcionar é a seguinte função:
f(x) = 1(x+2)(x-2)
Esta função apresenta assíntotas verticais em x=2 e x=-2.
  • Para x to 2, f(x) to infty.
  • Para x to -2^+, f(x) to infty.
  • Para x to -2^-, f(x) to -infty.
  • Para x to -infty e x to infty, f(x) to 0.
  • E a função também se anula em f(0) = 0, pois ao substituir 0 na função, temos f(0) = 1(0+2)(0-2) = 1-4 = 0.

Resposta

O gráfico da função f(x) = 1(x+2)(x-2) satisfaz todas as condições dadas pelo exercício.

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