Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas. ,
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função que atenda a várias condições de limites. As condições dadas falam sobre o comportamento da função quando se aproxima de certos valores e para valores muito grandes ou muito pequenos de . O conteúdo que estamos lidando aqui é cálculo de limites e esboço de gráficos de funções. Para resolver, a gente vai precisar de uma noção de como essas funções se comportam com os limites.
Passo 2
Vamos analisar cada uma das condições fornecidas:
: Isso significa que quando se aproxima de 2, o valor de cresce infinitamente. Essa geralmente é a característica de uma assíntota vertical em .
: Aqui, quando se aproxima de -2 pela direita (valores maiores que -2, mas se aproximando de -2), a função também vai para o infinito.
: Isso indica que quando se aproxima de -2 pela esquerda (valores menores que -2), a função vai para menos infinito.
Dessas três condições, podemos concluir que temos uma assíntota vertical em . À medida que nos aproximamos de -2 a partir da direita, a função cresce até o infinito, e à esquerda de -2, ela desce ao menos infinito.
Passo 3
Agora vamos ver as outras condições:
: Isso significa que para valores muito negativos de , a função se aproxima de 0.
: Da mesma forma, para valores muito positivos de , a função também se aproxima de 0.
: Aqui, a função deve passar pela origem, ou seja, o ponto (0,0) é uma parte do gráfico.
Passo 4
Com base em tudo isso, vamos pensar em uma função que satisfaça todas essas condições. Uma opção que pode funcionar é a seguinte função:
Esta função apresenta assíntotas verticais em e .
Para , .
Para , .
Para , .
Para e , .
E a função também se anula em , pois ao substituir na função, temos .
Resposta
O gráfico da função satisfaz todas as condições dadas pelo exercício.