Seja T: R^3 R^3 definido como
T(x, y, z)=(a y, b x+b z, a y)
Determine os autovalores e autovetores de T. Além disso, para que valores de a e b, T é diagonalizável.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de e descobrir para quais valores de e a transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T(x, y, z) = (a y, b x + b z, a y) por uma matriz. Observando a função dada:
T = 0 & a & 0 b & 0 & b 0 & a & 0
Podemos escrever a matriz de como:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular T - lambda I = -lambda & a & 0 b & -lambda & b 0 & a & -lambda :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - b cdot a ) - a ( b cdot (-lambda) - b cdot 0 ) + 0
= -lambda (lambda^2 - a b) + a ( - b lambda )
= -lambda^3 + a b lambda - a b lambda
= -lambda^3
Então, a equação característica fica:
-lambda^3 = 0 implies lambda = 0

Passo 6

Encontramos que o único autovalor é 0 cdot x + a y + 0 cdot z = 0 b x + 0 cdot y + b z = 0 0 cdot x + a y + 0 cdot z = 0 . Para encontrar os autovetores, resolvemos a y = 0 b x + b z = 0 a y = 0 :
Simplificando, temos:
Isso implica que e . Portanto, os autovetores são da forma , ou seja, uma combinação linear de .

Passo 7

Como temos apenas um autovalor com multiplicidade 3, precisamos verificar se existem três autovetores linearmente independentes para ser diagonalizável. No nosso caso, todos os autovetores são múltiplos de , ou seja, não há independência linear suficiente.
Isso significa que só será diagonalizável se a matriz for diagonal, o que não ocorre a menos que ou .

Resposta

Os únicos autovalores de são com autovetores da forma . A transformação é diagonalizável apenas quando ou .

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