Determine os autovalores e autovetores de . Além disso, para que valores de a e , é diagonalizável.
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar os autovalores e autovetores de e descobrir para quais valores de e a transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação por uma matriz. Observando a função dada:
Podemos escrever a matriz de como:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular T - lambda I = -lambda & a & 0 b & -lambda & b 0 & a & -lambda :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - b cdot a ) - a ( b cdot (-lambda) - b cdot 0 ) + 0
= -lambda (lambda^2 - a b) + a ( - b lambda )
= -lambda^3 + a b lambda - a b lambda
= -lambda^3
Então, a equação característica fica:
-lambda^3 = 0 implies lambda = 0
Passo 6
Encontramos que o único autovalor é 0 cdot x + a y + 0 cdot z = 0 b x + 0 cdot y + b z = 0 0 cdot x + a y + 0 cdot z = 0 . Para encontrar os autovetores, resolvemos a y = 0 b x + b z = 0 a y = 0 :
Simplificando, temos:
Isso implica que e . Portanto, os autovetores são da forma , ou seja, uma combinação linear de .
Passo 7
Como temos apenas um autovalor com multiplicidade 3, precisamos verificar se existem três autovetores linearmente independentes para ser diagonalizável. No nosso caso, todos os autovetores são múltiplos de , ou seja, não há independência linear suficiente.
Isso significa que só será diagonalizável se a matriz for diagonal, o que não ocorre a menos que ou .
Resposta
Os únicos autovalores de são com autovetores da forma . A transformação é diagonalizável apenas quando ou .