Ache os autovares e autovetores correspondentes das matrizes
Observação: Guarde os cálculos desta questão pois serão usados em outros itens desta lista.
  1. A=[cc1 & 2 0 & -1]
  2. A=[ll1 & 1 1 & 1]
  3. A=[lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1]
  4. A=[ccc3 & -3 & 4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1]
  5. A=[ccc1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2]
  6. A=[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1]
  7. A=[ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0]
  8. A=[ccc1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1]
  9. A=[ccc-1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11]
  10. A=[cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz 1 & 2 0 & -1. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber calcular o determinante e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores e autovetores. Um autovalor de uma matriz é um número que satisfaz a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Já o autovetor correspondente a esse autovalor é um vetor não nulo que satisfaz .

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico da matriz det(A - lambda I) = 1 - lambda & 2 0 & -1 - lambda :

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (2 times 0) = (1 - lambda)(-1 - lambda)
Simplificando:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = -1 - lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 - 1
Então, temos a equação característica:
lambda^2 - 1 = 0
Resolvendo para lambda^2 = 1 implies lambda = pm 1 :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Para 1 - 1 & 2 0 & -1 - 1 v1 v2 = 0 & 2 0 & -2 v1 v2 = 0 0 :

Substituímos na equação 0 cdot v1 + 2v2 = 0 0 cdot v1 - 2v2 = 0 :
2v2 = 0 implies v2 = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
v1 0
Simplificando, temos:
v1 = 1 0
Então, qualquer vetor da forma 1 - (-1) & 2 0 & -1 - (-1) v1 v2 = 2 & 2 0 & 0 v1 v2 = 0 0 . Podemos escolher 2v1 + 2v2 = 0 0 = 0 , então um autovetor correspondente é:
v1 + v2 = 0 implies v1 = -v2

Para -v2 v2:

Substituímos na equação v2 = -1 1 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando, temos:
Então, qualquer vetor da forma . Podemos escolher , então um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da matriz 1 & 2 0 & -1 são v1 = 1 0 para lambda1 = 1 e v2 = -1 1 para lambda2 = -1 . Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados