Exercício 8 Seja
, com
e
o polinômio minimal.
- Quais as possibilidades para o polinômio característico de T?
-
é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de transformações lineares no contexto de álgebra linear. Especificamente, temos uma transformação linear
onde o espaço vetorial
tem dimensão 5. O polinômio minimal de
é dado por
. Precisamos descobrir duas coisas:
- Quais são as possíveis formas do polinômio característico de
? - Se
é diagonalizável.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios minimal e característico, bem como os critérios para uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio minimal
de uma transformação linear é o menor polinômio monico tal que
. Ele divide o polinômio característico
de
, que é dado por
.
No nosso caso,
. Isso significa que o polinômio característico
deve ser um múltiplo de
e ter grau igual à dimensão de
, que é 5. Portanto,
deve ser da forma
, onde
e
(porque
já está no minimal).
Então, as possibilidades para
são:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: saber se
é diagonalizável. Uma transformação linear é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos, ou seja, se cada fator do minimal tem multiplicidade 1.
No nosso caso,
. Observe que o fator
tem multiplicidade 2, o que indica que existe um autovalor com multiplicidade algébrica maior que 1. Para que
seja diagonalizável, todas as multiplicidades geométricas devem ser iguais às multiplicidades algébricas, ou seja, cada fator do polinômio minimal deve ser de multiplicidade 1.
Como
está no minimal, isso implica que a multiplicidade geométrica de 1 é menor que a multiplicidade algébrica, ou seja, não há uma base de autovetores para
. Portanto,
não é diagonalizável.
Resposta
- As possibilidades para o polinômio característico de
são e . -
não é diagonalizável.