Considere o subconjunto
e
.
a)
é um subespaço vetorial do
?
a)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que temos: "Considere o subconjunto
. A pergunta é: S é um subespaço vetorial de
?.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Saber as condições que definem um subespaço vetorial e verificar se o conjunto
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é chamado de subespaço vetorial se cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
.
Vamos substituir
na equação
:
E
também dá:
Portanto, o vetor zero
satisfaz as condições de
. Assim, a primeira condição é atendida.
Passo 4
2. Verificando a propriedade de fechamento sob adição:
Sejam
e
dois vetores em
.
Isso significa que:
Agora, vamos somar
.
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz
e
:
Primeiro:
Segundo:
Portanto:
Logo,
também pertence a
. Assim, a segunda condição é atendida.
Passo 5
3. Verificando a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja
um vetor em
e
um escalar qualquer.
Sabemos que:
Vamos multiplicar
por
:
Agora, vamos verificar se
satisfaz
e
:
Primeiro:
Segundo:
Portanto,
também satisfaz as equações de
. Assim, a terceira condição é atendida.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.