Considere o subconjunto S=(x, y, z) in R^3 mid x=3 y e y=-z.
a) S é um subespaço vetorial do R^3 ?

Passo 1

Vamos analisar o exercício que temos: "Considere o subconjunto . A pergunta é: S é um subespaço vetorial de ?.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Saber as condições que definem um subespaço vetorial e verificar se o conjunto as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é chamado de subespaço vetorial se cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor pertence a .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x = 3 times 0 = 0 :
O vetor zero em 0 = -0 é .
Vamos substituir na equação :
E também dá:
Portanto, o vetor zero satisfaz as condições de . Assim, a primeira condição é atendida.

Passo 4

2. Verificando a propriedade de fechamento sob adição:
Sejam x1 = 3y1 e y1 = -z1 e x2 = 3y2 e y2 = -z2 dois vetores em x1 + x2 = 3y1 + 3y2 = 3(y1 + y2) .
Isso significa que:
y1 + y2 = -z1 + (-z2) = -(z1 + z2)
y = -(z1 + z2)
Agora, vamos somar .
Vamos verificar se esse vetor também satisfaz e :
Primeiro:
Segundo:
Portanto:
Logo, também pertence a . Assim, a segunda condição é atendida.

Passo 5

3. Verificando a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja x = 3y e y = -z um vetor em cu = (cx, cy, cz) e cx = c times 3y = 3(cy) um escalar qualquer.
Sabemos que:
cy = c times y = -c times z = -(cz)
Vamos multiplicar por :
Agora, vamos verificar se satisfaz e :
Primeiro:
Segundo:
Portanto, também satisfaz as equações de . Assim, a terceira condição é atendida.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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