Fixado
um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita, considere o conjunto
Esse conjunto é um ideal de
, ou seja,
-
-
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear
num espaço vetorial real de dimensão finita. Queremos analisar o conjunto
, que é formado por polinômios
que, quando aplicados ao operador
, resultam no zero, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que
é um ideal em
, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, precisamos entender o que é um ideal e verificar duas propriedades fundamentais: fechamento pela adição e fechamento pela multiplicação por qualquer polinômio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel como
, um ideal
é um subconjunto que satisfaz duas condições:
- Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é qualquer polinômio em , então o produto também está em .
Então, para provar que
é um ideal, vamos verificar essas duas propriedades.
Passo 3
Primeira propriedade: Fechamento pela adição
Vamos pegar dois polinômios
e
que estão em
. Isso significa que
e
. Queremos mostrar que
também está em
, ou seja, que
.
Usando a linearidade do operador
, temos:
Portanto,
está em
.
Passo 4
Segunda propriedade: Fechamento pela multiplicação por qualquer polinômio
Agora, vamos pegar um polinômio qualquer
em
e um polinômio
em
, ou seja,
. Queremos mostrar que
também está em
, ou seja, que
.
Sabemos que
, então:
Logo,
também está em
.
Resposta
Com isso, mostramos que
satisfaz as duas propriedades necessárias para ser um ideal em
. Portanto,
é realmente um ideal de
.