Fixado T: V V um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita, considere o conjunto
IT=p(x) in R[x] ; p(T)=0
Esse conjunto é um ideal de R[x], ou seja,
  1. p(x), q(x) in IT Rightarrow p(x)+q(x) in IT
  2. f(x) in R[x] e p(x) in IT Rightarrow f(x) cdot p(x) in IT.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear num espaço vetorial real de dimensão finita. Queremos analisar o conjunto , que é formado por polinômios que, quando aplicados ao operador , resultam no zero, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que é um ideal em , o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, precisamos entender o que é um ideal e verificar duas propriedades fundamentais: fechamento pela adição e fechamento pela multiplicação por qualquer polinômio de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel como , um ideal é um subconjunto que satisfaz duas condições:
  1. Se e estão em , então também está em .
  2. Se está em e é qualquer polinômio em , então o produto também está em .
Então, para provar que é um ideal, vamos verificar essas duas propriedades.

Passo 3

Primeira propriedade: Fechamento pela adição
Vamos pegar dois polinômios (p + q)(T) = p(T) + q(T) = 0 + 0 = 0 e que estão em . Isso significa que e . Queremos mostrar que também está em , ou seja, que .
Usando a linearidade do operador , temos:
Portanto, está em .

Passo 4

Segunda propriedade: Fechamento pela multiplicação por qualquer polinômio
Agora, vamos pegar um polinômio qualquer f(T) cdot p(T) = f(T) cdot 0 = 0 em e um polinômio em , ou seja, . Queremos mostrar que também está em , ou seja, que .
Sabemos que , então:
Logo, também está em .

Resposta

Com isso, mostramos que satisfaz as duas propriedades necessárias para ser um ideal em . Portanto, é realmente um ideal de .

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