1. Um órgão governamental credencia a firma A para fazer vistorias em carros recuperados ou construídos particularmente e dar a aprovação ou não para que determinado carro possa ser lacrado no Detran. Resolve testar se a firma A está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 carros vistoriados e aprovados por A, escolhe 50 e faz novas vistorias. Se encontrar no mínimo 2 que não mereçam a aprovação, descredencia A. Sabendo-se que no lote de 250 há 8 carros que foram aprovados irregularmente, qual a probabilidade do descredenciamento?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um órgão governamental que credencia a firma para inspecionar carros. De um total de 250 carros aprovados pela firma , sabemos que 8 foram aprovados de forma irregular. Queremos descobrir a probabilidade de descredenciação da firma , que ocorre se, ao inspecionar 50 carros, encontrarmos pelo menos 2 carros aprovados irregularmente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando estamos lidando com amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição hipergeométrica:
  • é o tamanho total da população (total de carros aprovados).
  • é o número de sucessos na população (carros aprovados irregularmente).
  • é o tamanho da amostra (carros que serão reavaliados).
  • é o número de sucessos na amostra que queremos calcular a probabilidade (mínimo 2 carros irregulares).
A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente sucessos na amostra. Mas como queremos a probabilidade de ter pelo menos 2 carros irregulares, vamos calcular .

Passo 3

Para encontrar P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] , podemos calcular o complemento, ou seja:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN - Kn - kdbinomNn
Vamos calcular e usando a fórmula da distribuição hipergeométrica:
Onde é o coeficiente binomial, ou combinação, que calcula de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 4

Calculando P(X = 0) = dbinom80 dbinom24250dbinom25050 :
P(X = 0) = dbinom24250dbinom25050
Sabemos que P(X = 1) = dbinom81 dbinom24249dbinom25050 , então:
P(X = 1) = 8 times dbinom24249dbinom25050
Calculando :
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = dbinom24250dbinom25050 + 8 times dbinom24249dbinom25050 e P(X >= 2) = 1 - ( dbinom24250dbinom25050 + 8 times dbinom24249dbinom25050 ) :
E, finalmente, calculamos :

Resposta

A probabilidade de descredenciamento da firma P(X >= 2) = 1 - ( dbinom24250dbinom25050 + 8 times dbinom24249dbinom25050 ) é:

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