1. Um órgão governamental credencia a firma para fazer vistorias em carros recuperados ou construídos particularmente e dar a aprovação ou não para que determinado carro possa ser lacrado no Detran. Resolve testar se a firma está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 carros vistoriados e aprovados por , escolhe 50 e faz novas vistorias. Se encontrar no mínimo 2 que não mereçam a aprovação, descredencia . Sabendo-se que no lote de 250 há 8 carros que foram aprovados irregularmente, qual a probabilidade do descredenciamento?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um órgão governamental que credencia a firma para inspecionar carros. De um total de 250 carros aprovados pela firma , sabemos que 8 foram aprovados de forma irregular. Queremos descobrir a probabilidade de descredenciação da firma , que ocorre se, ao inspecionar 50 carros, encontrarmos pelo menos 2 carros aprovados irregularmente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando estamos lidando com amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição hipergeométrica:
  • é o tamanho total da população (total de carros aprovados).
  • é o número de sucessos na população (carros aprovados irregularmente).
  • é o tamanho da amostra (carros que serão reavaliados).
  • é o número de sucessos na amostra que queremos calcular a probabilidade (mínimo 2 carros irregulares).
A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de ter exatamente sucessos na amostra. Mas como queremos a probabilidade de ter pelo menos 2 carros irregulares, vamos calcular .

Passo 3

Para encontrar , podemos calcular o complemento, ou seja:
Vamos calcular e usando a fórmula da distribuição hipergeométrica:
Onde é o coeficiente binomial, ou combinação, que calcula de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 4

Calculando :
Sabemos que , então:
Calculando :
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de e :
E, finalmente, calculamos :

Resposta

A probabilidade de descredenciamento da firma é:

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