Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, tenha a seguinte função de probabilidade
P(X=k)=a 2^kk!, para k in1,2,3,4.
b) Calcule a demanda esperada;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a demanda de uma peça numa loja de autopeças, onde a probabilidade de vender exatamente peças é dada por para . O que a gente precisa encontrar aqui é a demanda esperada, ou seja, o valor médio que esperamos vender dessa peça. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta, especificamente a média ou valor esperado de uma distribuição de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, precisamos encontrar o valor de sumk=1^4 P(X = k) = sumk=1^4 a 2^kk! = 1 que faz isso acontecer. Vamos somar para de 1 a 4:

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma:
a 2^11! = 2a1 = 2a
a 2^22! = 4a2 = 2a
a 2^33! = 8a6 = 4a3
a 2^44! = 16a24 = 2a3
Agora, somamos tudo:
2a + 2a + 4a3 + 2a3 = 1
Vamos somar os termos:
4a + 2a = 6a e 4a3 + 2a3 = 2a
6a + 2a = 8a = 1

Passo 4

Agora, resolvemos para 8a = 1 implies a = 18 :

Passo 5

Com E[X] = sumk=1^4 k P(X = k) = sumk=1^4 k cdot a 2^kk! encontrado, vamos calcular a demanda esperada E[X] = 18 sumk=1^4 k cdot 2^kk! :
E[X] = 18 ( 2^10! + 2^21! + 2^32! + 2^43! )
Substituindo 21 = 2 :
41 = 4
Simplificando 82 = 4 :
166 approx 2.6667
Calculando cada termo:
2 + 4 + 4 + 2.6667 = 12.6667
E[X] = 12.66678 approx 1.5833
Somando tudo:
Multiplicando por :

Resposta

A demanda esperada é aproximadamente 1,5833 peças.

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