Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere X= o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição.
(a) Calcule P(X=2), P(X <= 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma loja que tem 20 rádios, sendo que 12 têm duas entradas e 8 têm só uma. A gente vai selecionar 6 rádios de forma aleatória para colocar na prateleira. Queremos calcular a probabilidade de que exatamente 2 desses 6 rádios na prateleira tenham duas entradas ( P(X=2)) e a probabilidade de que até 2 desses rádios tenham duas entradas ( P(X <= 2)). Para resolver isso, vamos usar combinações e o conceito de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o número total de jeitos de escolher 6 rádios entre os 20 disponíveis. Isso é dado pela combinação:
binom206

Passo 3

Agora, para calcular P(X=2), queremos saber quantas maneiras existem de escolher exatamente 2 rádios com duas entradas dentre os 12 disponíveis e os outros 4 rádios com uma entrada dentre os 8 disponíveis. Isso é:
binom122 times binom84

Passo 4

A probabilidade P(X=2) é então a razão entre as duas combinações que calculamos:
P(X=2) = binom122 times binom84binom206

Passo 5

Agora, para calcular P(X <= 2), precisamos considerar as probabilidades de X=0, X=1 e X=2. Vamos calcular cada uma separadamente.
Para X=0 (nenhum rádio com duas entradas na prateleira):
binom120 times binom86
Para X=1 (um rádio com duas entradas na prateleira):
binom121 times binom85
Já temos X=2 calculado anteriormente:
binom122 times binom84

Passo 6

Somando essas três possibilidades, temos:
P(X <= 2) = binom120 times binom86 + binom121 times binom85 + binom122 times binom84binom206

Resposta

As probabilidades solicitadas são:
P(X=2) = binom122 times binom84binom206
e
P(X <= 2) = binom120 times binom86 + binom121 times binom85 + binom122 times binom84binom206

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