Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial e equações diferenciais. Vamos precisar saber como lidar com derivadas e resolver equações que envolvem elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então temos
. Nosso objetivo é encontrar
em função de
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para eliminar a exponencial. Assim:
Passo 4
Sabemos que
simplifica para
, então temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando o lado direito:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes.
Passo 7
Vamos usar a fórmula de integração por partes:
.
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: