Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. e^(y')=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial e equações diferenciais. Vamos precisar saber como lidar com derivadas e resolver equações que envolvem elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Sabemos que é a derivada de em relação a , então temos . Nosso objetivo é encontrar em função de .

Passo 3

Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para eliminar a exponencial. Assim:

Passo 4

Sabemos que simplifica para , então temos:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando o lado direito:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes.

Passo 7

Vamos usar a fórmula de integração por partes: .
Escolhemos e . Então, e .

Passo 8

Aplicando a fórmula:
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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