Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial e equações diferenciais. Vamos precisar saber como lidar com derivadas e resolver equações que envolvem elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
, então temos
. Nosso objetivo é encontrar
em função de
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para eliminar a exponencial. Assim:
Passo 4
Sabemos que
simplifica para
, então temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando o lado direito:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes.
Passo 7
Vamos usar a fórmula de integração por partes:
.
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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<html><head></head><body><div>Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.833ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 6998.4 1009”><title>(1+e^x) y y’ = e^x</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 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<html><head></head><body><div>Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.466ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.691ex” height=“2.353ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 13565.2 1039.9”><title>y’ cos(x) * sec^2(y) + 1 = sen(x) * tg(y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 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