Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver:
. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente, equações separáveis. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Isso facilita separar as variáveis
e
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Assim, conseguimos ter todas as
de um lado e todas as
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
:
A integral do lado esquerdo é direta, mas no lado direito precisamos de uma substituição.
Passo 5
Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. A integral vira:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
Igualando as duas integrais:
Podemos absorver as constantes em uma só.
Passo 7
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por 2:
E tiramos a raiz quadrada:
Onde
é a constante geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.