Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. (1+e^x) y y' = e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver: . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente, equações separáveis. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Isso facilita separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e por :
Assim, conseguimos ter todas as de um lado e todas as do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e :
A integral do lado esquerdo é direta, mas no lado direito precisamos de uma substituição.

Passo 5

Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então . A integral vira:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
Igualando as duas integrais:
Podemos absorver as constantes em uma só.

Passo 7

Resolvendo para , multiplicamos ambos os lados por 2:
E tiramos a raiz quadrada:
Onde é a constante geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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