Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. y' cos(x) * sec^2(y) + 1 = sen(x) * tg(y)

Passo 1

Neste exercício, temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a solução geral. Vamos utilizar técnicas de manipulação algébrica e métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada de forma mais clara:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos isolar na equação para facilitar a resolução:
Então,

Passo 4

Lembre-se que e . Vamos substituir essas expressões:

Passo 5

Multiplicando o numerador e o denominador por para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos fatorar no numerador:

Passo 7

Podemos reescrever a equação diferencial separando as variáveis e :
Isso permite que as duas variáveis sejam integradas separadamente.

Passo 8

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja , portanto, . Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 9

Reconhecemos que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma , onde:
Calculamos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 10

A equação pode ser reescrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados