Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Neste exercício, temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a solução geral. Vamos utilizar técnicas de manipulação algébrica e métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada de forma mais clara:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos isolar
na equação para facilitar a resolução:
Então,
Passo 4
Lembre-se que
e
. Vamos substituir essas expressões:
Passo 5
Multiplicando o numerador e o denominador por
para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos fatorar
no numerador:
Passo 7
Podemos reescrever a equação diferencial separando as variáveis
e
:
Isso permite que as duas variáveis sejam integradas separadamente.
Passo 8
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, portanto,
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 9
Reconhecemos que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
, onde:
Calculamos o fator integrante:
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Passo 10
A equação pode ser reescrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.