Exercícios 01: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em
, no espaço livre. (a) Encontre o lugar geométrico de todos os pontos
em que
. (b) Calcule
se
faz. parte deste lugar geométrico.
Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual de 100 nC localizada no ponto A(-1, 1, 3) no espaço. A questão está dividida em duas partes:
(a) Encontrar todos os pontos P(x, y, z) onde a componente x do campo elétrico, Ex, é igual a 500 V/m.
(b) Calcular o valor de y₁ para o ponto P(-2, y₁, 3) que faz parte desse conjunto de pontos.
Vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e Campo Elétrico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico E devido a uma carga Q em um ponto P é dado por:
Onde:
- $ k_e $ é a constante de Coulomb ($ 8.988 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ Q $ é a carga (100 nC = $ 100 \times 10^{-9} $ C),
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto P,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de P a partir de Q.
Vamos quebrar esse campo elétrico em suas componentes no eixo x, y e z.
Passo 3
Vamos achar a distância $ r $ entre o ponto A(-1, 1, 3) e um ponto P(x, y, z). A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
Aqui, estamos usando as coordenadas de A e P para calcular $ r $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a componente Ex do campo elétrico. Como o campo é um vetor, sua componente x é dada por:
Substituindo a expressão do campo elétrico:
Passo 5
A questão pede que $ E_x = 500 , V/m $. Então, vamos igualar a expressão de $ E_x $ a 500:
Vamos substituir os valores conhecidos:
- $ k_e = 8.988 \times 10^9 , N·m²/C² $
- $ Q = 100 \times 10^{-9} , C $
Passo 6
Substituindo na equação:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos isolar a expressão para simplificar:
Simplificando:
Passo 8
Para achar o lugar geométrico, precisamos expressar essa equação de forma geral. Vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar o expoente fracionário:
Isso resulta em uma equação complicada, mas essencialmente define uma superfície no espaço onde $ E_x = 500 , V/m $.
Passo 9
Vamos para a parte (b). Queremos encontrar $ y_1 $ quando $ P(-2, y_1, 3) $ está nessa superfície.
Substituindo $ x = -2 $ e $ z = 3 $ na equação original de $ E_x $:
Primeiro, calcule $ r $:
Passo 10
Agora, substituímos na expressão de $ E_x = 500 $:
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo para $ y_1 $:
Como o lado esquerdo é negativo e o lado direito é positivo, não há solução real. Isso significa que não existe um valor real de $ y_1 $ que satisfaça a condição dada.
Resposta
Não existe um valor real de $ y_1 $ para o ponto $ P(-2, y_1, 3) $ que satisfaça a condição $ E_x = 500 , V/m $.