Exercícios 01: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Uma carga pontual de 100 nC está posicionada em A(-1,1,3), no espaço livre. (a) Encontre o lugar geométrico de todos os pontos P(x, y, z) em que Ex=500 V / m. (b) Calcule y1 se P(-2, y1, 3) faz. parte deste lugar geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual de 100 nC localizada no ponto A(-1, 1, 3) no espaço. A questão está dividida em duas partes:
(a) Encontrar todos os pontos P(x, y, z) onde a componente x do campo elétrico, Ex, é igual a 500 V/m.
(b) Calcular o valor de y₁ para o ponto P(-2, y₁, 3) que faz parte desse conjunto de pontos.
Vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e Campo Elétrico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico E devido a uma carga Q em um ponto P é dado por:
E = ke cdot Qr^2 cdot r
Onde:
  • $ k_e $ é a constante de Coulomb ($ 8.988 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ Q $ é a carga (100 nC = $ 100 \times 10^{-9} $ C),
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto P,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de P a partir de Q.
Vamos quebrar esse campo elétrico em suas componentes no eixo x, y e z.

Passo 3

Vamos achar a distância $ r $ entre o ponto A(-1, 1, 3) e um ponto P(x, y, z). A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
r
Aqui, estamos usando as coordenadas de A e P para calcular $ r $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a componente Ex do campo elétrico. Como o campo é um vetor, sua componente x é dada por:
Ex = E cdot (x + 1)r
Substituindo a expressão do campo elétrico:
Ex = ke cdot Qr^2 cdot (x + 1)r = ke cdot Q cdot (x + 1)r^3

Passo 5

A questão pede que $ E_x = 500 , V/m $. Então, vamos igualar a expressão de $ E_x $ a 500:
Ex = 500 , V/m
Vamos substituir os valores conhecidos:
  • $ k_e = 8.988 \times 10^9 , N·m²/C² $
  • $ Q = 100 \times 10^{-9} , C $

Passo 6

Substituindo na equação:
8.988 times 10^9 cdot 100 times 10^-9 cdot (x + 1)[(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3/2 = 500
Simplificando os termos:
8.988 times 10^9 cdot 100 times 10^-9 cdot (x + 1)[(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3/2 = 500
898.8 cdot (x + 1)[(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3/2 = 500

Passo 7

Vamos isolar a expressão para simplificar:
898.8 cdot (x + 1)500 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3/2
Simplificando:
1.7976 cdot (x + 1) = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3/2

Passo 8

Para achar o lugar geométrico, precisamos expressar essa equação de forma geral. Vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar o expoente fracionário:
(1.7976 cdot (x + 1))^2 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2]^3
Isso resulta em uma equação complicada, mas essencialmente define uma superfície no espaço onde $ E_x = 500 , V/m $.

Passo 9

Vamos para a parte (b). Queremos encontrar $ y_1 $ quando $ P(-2, y_1, 3) $ está nessa superfície.
Substituindo $ x = -2 $ e $ z = 3 $ na equação original de $ E_x $:
Primeiro, calcule $ r $:
y1

Passo 10

Agora, substituímos na expressão de $ E_x = 500 $:
Ex = 500
Simplificando:
Ex = ke cdot Q cdot (-2 + 1)r^3 = 500
8.988 times 10^9 cdot 100 times 10^-9 cdot (-1)[1 + (y1 - 1)^2]^3/2 = 500

Passo 11

Resolvendo para $ y_1 $:
y1
-898.8500 = [1 + (y1 - 1)^2]^3/2
Como o lado esquerdo é negativo e o lado direito é positivo, não há solução real. Isso significa que não existe um valor real de $ y_1 $ que satisfaça a condição dada.

Resposta

Não existe um valor real de $ y_1 $ para o ponto $ P(-2, y_1, 3) $ que satisfaça a condição $ E_x = 500 , V/m $.

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