Exercícios 01: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Uma carga Q0 posicionada na origem, no espaço livre, produz campo para o qual Ez=1 kV / m no ponto P(-2,1,-1). (a) calcule Q0. Determine E em M(1,6,5) em (b) coordenadas cartesianas; © coordenadas cilíndricas e (d) coordenadas esféricas.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre Lei de Coulomb e Campo Elétrico. A gente tem uma carga $ Q_0 $ colocada na origem que gera um campo elétrico $ E $ no ponto $ P(-2,1,-1) $. Primeiro, vamos calcular o valor de $ Q_0 $ usando a Lei de Coulomb. Depois, vamos determinar o campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ em três sistemas de coordenadas diferentes: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da Lei de Coulomb e das expressões do campo elétrico em cada sistema de coordenadas.

Passo 2

Vamos começar calculando a carga $ Q_0 $. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ criado por uma carga pontual $ Q $ no espaço livre é dado por:
Q0
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $)
  • $ Q $ é a carga
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $
No ponto $ P(-2,1,-1) $, sabemos que a componente $ E_z = 1 , kV/m = 1000 , V/m $.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a distância $ r $ entre a carga $ Q_0 $ na origem e o ponto $ P(-2,1,-1) $. Usamos a fórmula da distância no espaço cartesiano:
r

Passo 4

Agora, vamos relacionar a componente $ E_z $ com a fórmula do campo elétrico. Sabemos que:
Ez
Onde $ z $ é a coordenada no eixo z do ponto $ P $, que é $ -1 $.
Substituindo os valores conhecidos:
Ez = k cdot Q0 cdot zr^3

Passo 5

Vamos resolver para $ Q_0 $:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Q0
Agora, a equação fica:
( raiz6 )^3 = 6 cdot raiz6
Multiplicando ambos os lados por $ 6 \cdot \sqrt{6} $:
1000 = 8,988 times 10^9 cdot Q0 cdot (-1)6 cdot raiz6
Calculando o lado esquerdo:
6 cdot raiz6
Então:
1000 cdot 6 cdot raiz6 = -8,988 times 10^9 cdot Q0
Dividindo ambos os lados por $ -8,988 \times 10^9 $:
1000 cdot 6 cdot raiz6 approx 1000 cdot 6 cdot 2,4495 approx 14.697 times 10^3

Passo 6

Agora que temos $ Q_0 $, vamos determinar o campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ nas diferentes coordenadas.
Primeiro, calculamos a distância $ r $ entre a origem e $ M(1,6,5) $:
Q0

Passo 7

(b) Coordenadas Cartesianas

Usando a fórmula do campo elétrico em coordenadas cartesianas:
E = k cdot Q0r^3 r
Onde $ \vec{r} $ é o vetor posição de $ M $:
r
Substituindo os valores:
M
Calculando o denominador:
r = (1)i + (6)j + (5)k
Então:
E = 8,988 times 10^9 cdot (-1,636 times 10^-6)( raiz62 )^3 (1i + 6j + 5k)

Passo 8

© Coordenadas Cilíndricas

Em coordenadas cilíndricas, temos $ ( \rho, \phi, z ) $. Primeiro, vamos converter as coordenadas de $ M(1,6,5) $ para cilíndricas:
( rho, phi, z )
M(1,6,5)
O componente $ z $ permanece $ 5 , m $.
O campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
rho = raizx^2 + y^2 = raiz1^2 + 6^2 = raiz37 , m
Substituindo os valores:
phi = arctan(yx) = arctan(61) approx 80,54^circ
Calculando:
z
5 , m

Passo 9

(d) Coordenadas Esféricas

Em coordenadas esféricas, temos $ (r, \theta, \phi) $. O campo elétrico já está diretamente relacionado ao $ r $, então:
(r, theta, phi)
Substituindo os valores:
r
Calculando:
E = k cdot Q0r^2 r

Resposta

A carga $ Q_0 $ é aproximadamente $ -1,636 \times 10^{-6} , C $. O campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ é:
  • Em coordenadas cartesianas: $ \vec{E} \approx -30,11, \hat{i} -180,66, \hat{j} -150,55, \hat{k} , V/m $
  • Em coordenadas cilíndricas: $ \vec{E} \approx -30,11, (6,082 \hat{\rho} + 5 \hat{z}) , V/m $
  • Em coordenadas esféricas: $ \vec{E} \approx -237,03 \hat{r} , V/m $

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