Exercícios 01: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Uma carga
posicionada na origem, no espaço livre, produz campo para o qual
no ponto
. (a) calcule
. Determine
em
em (b) coordenadas cartesianas; © coordenadas cilíndricas e (d) coordenadas esféricas.
Uma carga
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre Lei de Coulomb e Campo Elétrico. A gente tem uma carga $ Q_0 $ colocada na origem que gera um campo elétrico $ E $ no ponto $ P(-2,1,-1) $. Primeiro, vamos calcular o valor de $ Q_0 $ usando a Lei de Coulomb. Depois, vamos determinar o campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ em três sistemas de coordenadas diferentes: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da Lei de Coulomb e das expressões do campo elétrico em cada sistema de coordenadas.
Passo 2
Vamos começar calculando a carga $ Q_0 $. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico $ \vec{E} $ criado por uma carga pontual $ Q $ no espaço livre é dado por:
Onde:
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $)
- $ Q $ é a carga
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $
No ponto $ P(-2,1,-1) $, sabemos que a componente $ E_z = 1 , kV/m = 1000 , V/m $.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a distância $ r $ entre a carga $ Q_0 $ na origem e o ponto $ P(-2,1,-1) $. Usamos a fórmula da distância no espaço cartesiano:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a componente $ E_z $ com a fórmula do campo elétrico. Sabemos que:
Onde $ z $ é a coordenada no eixo z do ponto $ P $, que é $ -1 $.
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Vamos resolver para $ Q_0 $:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Agora, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por $ 6 \cdot \sqrt{6} $:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Dividindo ambos os lados por $ -8,988 \times 10^9 $:
Passo 6
Agora que temos $ Q_0 $, vamos determinar o campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ nas diferentes coordenadas.
Primeiro, calculamos a distância $ r $ entre a origem e $ M(1,6,5) $:
Passo 7
(b) Coordenadas Cartesianas
Usando a fórmula do campo elétrico em coordenadas cartesianas:
Onde $ \vec{r} $ é o vetor posição de $ M $:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 8
© Coordenadas Cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas, temos $ ( \rho, \phi, z ) $. Primeiro, vamos converter as coordenadas de $ M(1,6,5) $ para cilíndricas:
O componente $ z $ permanece $ 5 , m $.
O campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 9
(d) Coordenadas Esféricas
Em coordenadas esféricas, temos $ (r, \theta, \phi) $. O campo elétrico já está diretamente relacionado ao $ r $, então:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
A carga $ Q_0 $ é aproximadamente $ -1,636 \times 10^{-6} , C $. O campo elétrico no ponto $ M(1,6,5) $ é:
- Em coordenadas cartesianas: $ \vec{E} \approx -30,11, \hat{i} -180,66, \hat{j} -150,55, \hat{k} , V/m $
- Em coordenadas cilíndricas: $ \vec{E} \approx -30,11, (6,082 \hat{\rho} + 5 \hat{z}) , V/m $
- Em coordenadas esféricas: $ \vec{E} \approx -237,03 \hat{r} , V/m $