Para cada conjunto $A$ abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais. (c) $A \subset \mathbb{R}^{2}, v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in A \cdot v_{1}+v_{2}=\left(x_{1}, y_{1}\right)$ e $\alpha v_{1}=\left(\alpha x_{1}, \alpha y_{1}\right)$.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto \( A \subset \mathbb{R}^{2} \), com vetores \( v_{1} = (x_{1}, y_{1}) \) e \( v_{2} = (x_{2}, y_{2}) \) pertencentes a \( A \). As operações definidas são:
- **Soma**: \( v_{1} + v_{2} = (x_{1}, y_{1}) \)
- **Multiplicação por escalar**: \( \alpha v_{1} = (\alpha x_{1}, \alpha y_{1}) \)
A questão pede para a gente verificar se \( A \) forma um espaço vetorial com essas operações. Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto com operações precisa satisfazer para ser um espaço vetorial e verificar uma por uma.
Passo 2
Primeiro, precisamos revisar as propriedades que definem um espaço vetorial. Um conjunto \( A \) com operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial se satisfizer as seguintes condições:
1. **Fechamento em relação à soma**: A soma de quaisquer dois vetores em \( A \) também está em \( A \).
2. **Fechamento em relação à multiplicação por escalar**: O produto de qualquer escalar com um vetor em \( A \) também está em \( A \).
3. **Comutatividade da soma**: \( v_{1} + v_{2} = v_{2} + v_{1} \).
4. **Associatividade da soma**: \( (v_{1} + v_{2}) + v_{3} = v_{1} + (v_{2} + v_{3}) \).
5. **Existência do elemento neutro**: Existe um vetor zero tal que \( v + 0 = v \) para todo \( v \in A \).
6. **Existência do inverso aditivo**: Para todo \( v \in A \), existe um vetor \( -v \) tal que \( v + (-v) = 0 \).
7. **Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial**: \( \alpha (v_{1} + v_{2}) = \alpha v_{1} + \alpha v_{2} \).
8. **Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares**: \( (\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v \).
9. **Compatibilidade da multiplicação por escalares**: \( \alpha (\beta v) = (\alpha \beta) v \).
10. **Elemento neutro da multiplicação por escalar**: \( 1 v = v \).
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto \( A \) com as operações dadas.
Passo 3
**1. Fechamento em relação à soma:**
A soma definida é \( v_{1} + v_{2} = (x_{1}, y_{1}) \). Isso significa que estamos descartando \( y_{2} \). Por exemplo, se \( v_{1} = (1,2) \) e \( v_{2} = (3,4) \), então \( v_{1} + v_{2} = (1,2) \).
Agora, para o fechamento, precisamos ver se o resultado da soma está em \( A \). No caso, \( (x_{1}, y_{1}) \) pertence a \( A \), já que \( v_{1} \) também está em \( A \). Portanto, a soma está fechada.
**2. Fechamento em relação à multiplicação por escalar:**
A multiplicação por escalar é \( \alpha v_{1} = (\alpha x_{1}, \alpha y_{1}) \). Se \( v_{1} \) está em \( A \), então \( (\alpha x_{1}, \alpha y_{1}) \) também deve estar em \( A \). Isso depende da definição de \( A \), mas assumindo que \( A \) é qualquer subconjunto de \( \mathbb{R}^{2} \), isso pode não ser garantido. Precisamos de mais informações sobre \( A \) para confirmar.
**3. Comutatividade da soma:**
Temos \( v_{1} + v_{2} = (x_{1}, y_{1}) \) e \( v_{2} + v_{1} = (x_{2}, y_{2}) \). Para ser comutativa, deve ser que \( (x_{1}, y_{1}) = (x_{2}, y_{2}) \) para quaisquer \( v_{1}, v_{2} \in A \). Isso só é verdade se \( x_{1} = x_{2} \) e \( y_{1} = y_{2} \), o que não é geral, então a soma não é comutativa.
**4. Associatividade da soma:**
Vamos calcular \( (v_{1} + v_{2}) + v_{3} \) e \( v_{1} + (v_{2} + v_{3}) \):
- \( v_{1} + v_{2} = (x_{1}, y_{1}) \)
- \( (v_{1} + v_{2}) + v_{3} = (x_{1}, y_{1}) + v_{3} = (x_{1}, y_{1}) \)
Do outro lado:
- \( v_{2} + v_{3} = (x_{2}, y_{2}) \)
- \( v_{1} + (v_{2} + v_{3}) = v_{1} + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1}, y_{1}) \)
Então, \( (v_{1} + v_{2}) + v_{3} = v_{1} + (v_{2} + v_{3}) ) \), a operação é associativa.
**5. Existência do elemento neutro:**
Precisamos de um vetor \( 0 \) tal que \( v + 0 = v \). Aqui, \( v + 0 = (x, y) + 0 = (x, y) \). Se \( 0 = (x_{0}, y_{0}) \), então \( (x, y) + (x_{0}, y_{0}) = (x, y) \), o que implica que \( x_{0} = 0 \) e \( y_{0} = y \). Mas \( y \) varia com \( v \), então não existe um vetor fixo que funcione para todos \( v \). Logo, não existe elemento neutro.
**Conclusão das propriedades:**
Já que a soma não é comutativa e não existe elemento neutro, \( A \) não satisfaz as condições necessárias para ser um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto \( A \subset \mathbb{R}^{2} \) com as operações definidas não constitui um espaço vetorial, pois não satisfaz as propriedades de comutatividade da soma e de existência do elemento neutro.