Nos Exercícios de 7 a 10, encontre uma equaçāo linear que tenha o mesmo conjunto soluçāo que a equaçäo dada (possivelmente com alguma restriçāo nas variáveis).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma equação linear que tenha o mesmo conjunto de soluções que uma equação dada. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente sobre equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como manipular equações para mantê-las equivalentes, ou seja, que tenham as mesmas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação linear. Uma equação linear tem a forma geral:
onde
e
são constantes, e
.
Passo 3
O objetivo é encontrar outra equação linear que seja equivalente à dada. Isso significa que ambas as equações devem ter as mesmas soluções para
. Para isso, podemos multiplicar ou dividir ambos os lados da equação original por um número diferente de zero. Por exemplo, se temos:
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
O que resulta em:
Passo 4
Outra forma de encontrar uma equação equivalente é mover os termos para o outro lado da igualdade. Por exemplo, partindo da equação original:
Podemos subtrair 4 de ambos os lados:
Passo 5
Agora, para isolar
, dividimos ambos os lados por 2:
Essa é a solução da equação original. Agora, nossa tarefa é construir outra equação linear que também tenha
como solução.
Passo 6
Podemos multiplicar ambos os lados da solução por qualquer número diferente de zero para criar uma nova equação. Por exemplo, multiplicando por 3:
Essa é uma nova equação linear que tem a mesma solução
.
Passo 7
Outra maneira é adicionar ou subtrair o mesmo número de ambos os lados após isolar
. Por exemplo, adicionando 5:
Essa equação também tem
como solução porque se resolvermos
, subtraindo 5 de ambos os lados, teremos
.
Resposta
Uma equação linear equivalente à dada é:
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)
Nos Exercícios de 1 a 6, determine quais equaçōes sāo lineares nas variáveis
, y e
. Se alguma equação não for linear, explique o motivo.
Sejam
dada por
dada por
dada por
e
dada por
. Determine, se possível: