Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Sendo u=(1,4,1)E e v=(0,1,-8)E calcule
u cdot v

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos dois vetores, e , que estão numa base ortonormal . Nosso objetivo aqui é calcular o produto escalar desses vetores. Para isso, vamos precisar entender a definição de produto escalar e como aplicá-la em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, o que é produto escalar? É uma operação entre dois vetores que resulta em um número (escalar). Em uma base ortonormal, o produto escalar de u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e é feito multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando tudo. A fórmula fica assim:

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos nossos vetores:
u = (1, 4, 1) v = (0, 1, -8)
Isso significa que:
  • , ,
  • , ,

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = (1)(0) + (4)(1) + (1)(-8)
Vamos calcular cada termo:
  • 0 + 4 - 8 = -4
Somando tudo:

Resposta

O produto escalar é igual a .

Exercícios relacionados

Determinar a condição para x, y e z de modo que ( x, y, z ) seja combinaçảo linear dos vetores v1 e v2.
Solução
Devemos ter:
(x, y, z)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
de onde vem o sistema:
r a1+2 a2=x -3 a1+4 a2=y 2 a1-a2=z
O vetor ( x, y, z) somente será combinaçâo linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
x-y-2 z=0
ou:
x=y+2 z
Espaços vetoriais
43
Assim, todos os vetores (x, y, z) in R^3, que sāo combinações lineares de v1 e v2, têm a forma:
(y+2 z, y, z)
com y, z in R.
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 nâo são colineares. O vetor a1 v1 tem a direçâo de v1, e o vetor a2 v2, a direçāo de v2. Logo, todos os vetores (x, y, z) in R^3 do tipo
(x, y, z)=a1 v1+a2 v2
Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Dados u=(4,10,10)E e v=(1,1,4)E, calcule a projeção ortogonal de v sobre u, e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e outro ortogonal a u.
Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Determine m para que a medida do ângulo entre u=(raiz3, m, 0)E e v=(1, raiz3, 0)E seja 30^circ.
Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(ak) e (beta circ alpha)(ak), prara todo 1 <= k <= s.