Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Determine m para que a medida do ângulo entre u=(raiz3, m, 0)E e v=(1, raiz3, 0)E seja 30^circ.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas vetores, u = (raiz3, m, 0) e v = (1, raiz3, 0), em uma base ortonormal E. Queremos encontrar o valor de m de modo que o ângulo entre esses dois vetores seja 30^circ. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de produto escalar e a fórmula para o ângulo entre vetores.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (raiz3)(1) + (m)(raiz3) + (0)(0) = raiz3 + mraiz3

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (comprimentos) dos vetores u e v. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para u:
|u| = raiz(raiz3)^2 + m^2 + 0^2 = raiz3 + m^2
Para v:
|v| = raiz1^2 + (raiz3)^2 + 0^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2

Passo 4

Sabemos que o cosseno do ângulo theta entre dois vetores é dado por:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Queremos que theta = 30^circ, então:
cos 30^circ = raiz3 + mraiz3raiz3 + m^2 times 2
Sabemos que cos 30^circ = raiz32, então temos:
raiz32 = raiz3(1 + m)2raiz3 + m^2
Podemos simplificar ambos os lados multiplicando por 2:
raiz3 = raiz3(1 + m)raiz3 + m^2
Dividindo ambos os lados por raiz3:
1 = 1 + mraiz3 + m^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 = (1 + m)^23 + m^2
Multiplicando ambos os lados por 3 + m^2:
3 + m^2 = (1 + m)^2
Expandindo o lado direito:
3 + m^2 = 1 + 2m + m^2
Subtraindo m^2 de ambos os lados:
3 = 1 + 2m
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2 = 2m
Dividindo por 2:
m = 1

Resposta

O valor de m é 1.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Sendo u=(1,4,1)E e v=(0,1,-8)E calcule
u cdot v
Determinar a condição para x, y e z de modo que ( x, y, z ) seja combinaçảo linear dos vetores v1 e v2.
Solução
Devemos ter:
(x, y, z)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
de onde vem o sistema:
r a1+2 a2=x -3 a1+4 a2=y 2 a1-a2=z
O vetor ( x, y, z) somente será combinaçâo linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
x-y-2 z=0
ou:
x=y+2 z
Espaços vetoriais
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Assim, todos os vetores (x, y, z) in R^3, que sāo combinações lineares de v1 e v2, têm a forma:
(y+2 z, y, z)
com y, z in R.
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 nâo são colineares. O vetor a1 v1 tem a direçâo de v1, e o vetor a2 v2, a direçāo de v2. Logo, todos os vetores (x, y, z) in R^3 do tipo
(x, y, z)=a1 v1+a2 v2
Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(ak) e (beta circ alpha)(ak), prara todo 1 <= k <= s.
Sejam a1, ldots, an números reais. O conjunto H de todos os vetores v=(x1, ldots, xn) in R^n tais que
a1 x1+cdots+an xn=0
é um subespaço vetorial de R^n. No caso desinteressante em que a1=cdots=an=0, o subespaço H é todo o R^n. Se, ao contrário, pelo menos um dos ai é neq 0, H chama-se um hiperplano de R^n que passa pela origem.