Suponha e ciclos disjuntos de , digamos e com , para todo e .
Calcule e , prara todo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas permutações, chamadas e , que são ciclos disjuntos no conjunto . Isso quer dizer que os elementos que estão em não estão em e vice-versa. A permutação é dada por e , onde nenhum é igual a nenhum . A tarefa é calcular e para todo entre 1 e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a composição de duas permutações. Quando temos , isso significa que primeiro aplicamos em e depois aplicamos no resultado. Em termos matemáticos, é .
Passo 3
Como e são ciclos disjuntos, os elementos de não são afetados por , e vice-versa. Então, se pegarmos um elemento que está em , aplicar sobre ele não vai mudar nada, ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos aplicar ao resultado de . Já vimos que , então temos:
O que significa aplicar em . Pela definição de ciclo, é o próximo elemento no ciclo . Então:
E quando , voltamos para o início do ciclo:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para . Nesse caso, primeiro aplicamos em e depois no resultado:
Como está em e e são disjuntos, não faz nada com . Então: