Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(ak) e (beta circ alpha)(ak), prara todo 1 <= k <= s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas permutações, chamadas alpha e beta, que são ciclos disjuntos no conjunto Sn. Isso quer dizer que os elementos que estão em alpha não estão em beta e vice-versa. A permutação alpha é dada por alpha = (a1 a2 a3 ldots as) e beta = (b1 b2 b3 ldots bt), onde nenhum ai é igual a nenhum bj. A tarefa é calcular (alpha circ beta)(ak) e (beta circ alpha)(ak) para todo k entre 1 e s.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a composição de duas permutações. Quando temos (alpha circ beta)(x), isso significa que primeiro aplicamos beta em x e depois aplicamos alpha no resultado. Em termos matemáticos, é alpha(beta(x)).

Passo 3

Como alpha e beta são ciclos disjuntos, os elementos de alpha não são afetados por beta, e vice-versa. Então, se pegarmos um elemento ak que está em alpha, aplicar beta sobre ele não vai mudar nada, ou seja, beta(ak) = ak.

Passo 4

Agora, vamos aplicar alpha ao resultado de beta(ak). Já vimos que beta(ak) = ak, então temos:
alpha(beta(ak)) = alpha(ak)
O que significa aplicar alpha em ak. Pela definição de ciclo, alpha(ak) é o próximo elemento no ciclo alpha. Então:
alpha(ak) = ak+1 para 1 <= k < s
E quando k = s, voltamos para o início do ciclo:
alpha(as) = a1

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para (beta circ alpha)(ak). Nesse caso, primeiro aplicamos alpha em ak e depois beta no resultado:
beta(alpha(ak)) = beta(ak+1)
Como ak+1 está em alpha e alpha e beta são disjuntos, beta não faz nada com ak+1. Então:
beta(ak+1) = ak+1

Resposta

Portanto, para todo 1 <= k <= s:
(alpha circ beta)(ak) = alpha(ak) = ak+1 & se 1 <= k < s a1 & se k = s
E
(beta circ alpha)(ak) = ak+1 para 1 <= k < s e a1 se k = s

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