Sejam a1, ldots, an números reais. O conjunto H de todos os vetores v=(x1, ldots, xn) in R^n tais que
a1 x1+cdots+an xn=0
é um subespaço vetorial de R^n. No caso desinteressante em que a1=cdots=an=0, o subespaço H é todo o R^n. Se, ao contrário, pelo menos um dos ai é neq 0, H chama-se um hiperplano de R^n que passa pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está lidando com subespaços vetoriais e hiperplanos no espaço . O enunciado define um conjunto formado por vetores que satisfazem uma certa equação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e o que caracteriza um hiperplano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto é um subespaço vetorial de . Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: se você pegar dois vetores em , a soma deles também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar um vetor de por um número real, o resultado também está em .

Passo 3

No nosso caso, o conjunto a1 x1 + a2 x2 + cdots + an xn = 0 é definido por todos os vetores que satisfazem a equação:
Essa é uma equação linear. Agora vamos verificar se atende às três condições de um subespaço.

Passo 4

1. Contém o vetor zero: Se substituirmos todos os por zero, a equação fica , que é verdadeira. Então, o vetor zero está em .

Passo 5

2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores a1 x1 + a2 x2 + cdots + an xn = 0 e a1 y1 + a2 y2 + cdots + an yn = 0 em a1 (x1 + y1) + a2 (x2 + y2) + cdots + an (xn + yn) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
A soma também deve satisfazer a equação:
Então, está em .

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor a1 (c x1) + a2 (c x2) + cdots + an (c xn) = c (a1 x1 + a2 x2 + cdots + an xn) = c cdot 0 = 0 em e um escalar , temos:
Portanto, também está em .

Passo 7

Como satisfaz as três condições, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

Passo 8

Agora, vamos analisar os casos especiais mencionados no enunciado:
  • Caso todos os : A equação fica , que é sempre verdadeira para qualquer vetor em . Isso significa que contém todos os vetores de , ou seja, .
  • Caso pelo menos um dos : A equação representa uma condição não trivial que restringe os vetores a um “hiperplano” que passa pela origem. Um hiperplano em é um subespaço de dimensão , o que significa que ele “corta” o espaço em -dimensões.

Passo 9

Então, resumindo:
  • Se todos os forem zero, é todo o espaço .
  • Se pelo menos um for diferente de zero, é um hiperplano que passa pela origem.

Resposta

Portanto, o conjunto definido pela equação é um subespaço vetorial de . Ele é igual a todo o quando todos os coeficientes são zero, e é um hiperplano passando pela origem caso pelo menos um seja diferente de zero.

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