Sejam números reais. O conjunto H de todos os vetores tais que
é um subespaço vetorial de . No caso desinteressante em que , o subespaço é todo o . Se, ao contrário, pelo menos um dos é , H chama-se um hiperplano de que passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está lidando com subespaços vetoriais e hiperplanos no espaço . O enunciado define um conjunto formado por vetores que satisfazem uma certa equação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e o que caracteriza um hiperplano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto é um subespaço vetorial de . Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
Fechado sob adição: se você pegar dois vetores em , a soma deles também está em .
Fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar um vetor de por um número real, o resultado também está em .
Passo 3
No nosso caso, o conjunto é definido por todos os vetores que satisfazem a equação:
Essa é uma equação linear. Agora vamos verificar se atende às três condições de um subespaço.
Passo 4
1. Contém o vetor zero: Se substituirmos todos os por zero, a equação fica , que é verdadeira. Então, o vetor zero está em .
Passo 5
2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores e em . Isso significa que:
A soma também deve satisfazer a equação:
Então, está em .
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor em e um escalar , temos:
Portanto, também está em .
Passo 7
Como satisfaz as três condições, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .
Passo 8
Agora, vamos analisar os casos especiais mencionados no enunciado:
Caso todos os : A equação fica , que é sempre verdadeira para qualquer vetor em . Isso significa que contém todos os vetores de , ou seja, .
Caso pelo menos um dos : A equação representa uma condição não trivial que restringe os vetores a um “hiperplano” que passa pela origem. Um hiperplano em é um subespaço de dimensão , o que significa que ele “corta” o espaço em -dimensões.
Passo 9
Então, resumindo:
Se todos os forem zero, é todo o espaço .
Se pelo menos um for diferente de zero, é um hiperplano que passa pela origem.
Resposta
Portanto, o conjunto definido pela equação é um subespaço vetorial de . Ele é igual a todo o quando todos os coeficientes são zero, e é um hiperplano passando pela origem caso pelo menos um seja diferente de zero.