Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Calcule a medida do ângulo entre u e v sendo dados u=(1,3,-1)E e v=(0,-1,-3)E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular a medida do ângulo entre dois vetores, u = (1, 3, -1)E e v = (0, -1, -3)E, em uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, especificamente o produto escalar e as magnitudes dos vetores, que nos ajudam a encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar, também conhecido como produto interno, é uma operação que toma dois vetores e retorna um número real. A fórmula para o produto escalar de u e v é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Essa operação é útil porque ela está relacionada ao ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u e v. Substituindo os componentes dos vetores na fórmula:
u cdot v = (1)(0) + (3)(-1) + (-1)(-3) = 0 - 3 + 3 = 0
Então, o produto escalar u cdot v é igual a 0.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores u e v. A magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular cada uma:
Para u = (1, 3, -1):
|u| = raiz1^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11
Para v = (0, -1, -3):
|v| = raiz0^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que calculamos:
costheta = 0raiz11 cdot raiz10 = 0raiz110 = 0

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0)
Sabemos que arccos(0) = 90^circ.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 90 graus.

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