Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto dos números reais, , com a operação de soma definida como e a multiplicação por escalar definida como , forma um espaço vetorial. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os axiomas que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto acompanhado de duas operações: adição e multiplicação por escalar, que precisam satisfazer oito regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações se comportam de maneira consistente.
Passo 3
Vamos listar os oito axiomas que precisamos verificar:
Comutatividade da Adição:
Associatividade da Adição:
Elemento Neutro da Adição: Existe um elemento tal que
Elemento Inverso da Adição: Para todo , existe tal que
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição:
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
Passo 4
Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição:
Então, esse axioma está válido.
Passo 5
Agora, vamos para a associatividade da adição:
E
Como os dois lados são iguais, a associatividade também está ok.
Passo 6
Vamos verificar o elemento neutro da adição. Precisamos achar um número tal que:
Isso acontece se e somente se . Mas, se for negativo, , então não existe um elemento neutro válido para todos os .
Passo 7
Como já falhamos no axioma do elemento neutro, não precisamos verificar os demais. Mas, para completar, vamos olhar o elemento inverso da adição. Precisamos de tal que:
Isso só seria possível se , o que só é verdade para . Portanto, não existe um inverso para todos os .
Resposta
Não, com as operações definidas de soma e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial.