Seja R o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por x oplus y=max (x, y) e k odot x=k x, respectivamente. Verifique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto dos números reais, , com a operação de soma definida como e a multiplicação por escalar definida como , forma um espaço vetorial. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto acompanhado de duas operações: adição e multiplicação por escalar, que precisam satisfazer oito regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações se comportam de maneira consistente.

Passo 3

Vamos listar os oito axiomas que precisamos verificar:
  1. Comutatividade da Adição:
  2. Associatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um elemento tal que
  4. Elemento Inverso da Adição: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição:
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
  8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:

Passo 4

Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição:
x oplus y = max(x, y) = max(y, x) = y oplus x
Então, esse axioma está válido.

Passo 5

Agora, vamos para a associatividade da adição:
x oplus (y oplus z) = max(x, max(y, z)) = max(x, y, z)
E
(x oplus y) oplus z = max(max(x, y), z) = max(x, y, z)
Como os dois lados são iguais, a associatividade também está ok.

Passo 6

Vamos verificar o elemento neutro da adição. Precisamos achar um número x oplus 0 = max(x, 0) = x tal que:
Isso acontece se e somente se . Mas, se for negativo, , então não existe um elemento neutro válido para todos os .

Passo 7

Como já falhamos no axioma do elemento neutro, não precisamos verificar os demais. Mas, para completar, vamos olhar o elemento inverso da adição. Precisamos de x oplus (-x) = max(x, -x) = 0 tal que:
Isso só seria possível se , o que só é verdade para . Portanto, não existe um inverso para todos os .

Resposta

Não, com as operações definidas de soma e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial.

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