Mostre, recorrendo ao exercício anterior, que os conjuntos de vectores
são linearmente independentes. Sugestão: no primeiro caso faça , no segundo faça
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os conjuntos de vetores e são linearmente independentes. A matéria aqui é Algebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver, vamos usar o método que envolve avaliar os vetores em certos valores de e verificar se a única combinação linear que dá zero é a trivial (ou seja, todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é multiplicando cada um por zero. Matematicamente, se tivermos:
Então, para ser independente, precisamos ter .
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz onde cada coluna representa um dos vetores avaliados em pontos específicos de . A sugestão é escolher valores de que simplifiquem os cálculos. Começando pelo primeiro conjunto , vamos usar , e .
Passo 4
Vamos construir a matriz com essas avaliações:
[
]
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
det = 1 cdot (1 cdot 1e - (-1) cdot e ) - 0 cdot (1 cdot 1e - 1 cdot e ) + 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1 )
Simplificando:
det = 1 cdot (1e + e) + 1 cdot (-2) = 1e + e - 2
Sabemos que porque , então o determinante não é zero.
Passo 6
Agora vamos fazer o mesmo para o segundo conjunto usando , e .