Mostre, recorrendo ao exercício anterior, que os conjuntos de vectores
1, t, e^t e sin (t), cos (t), t cos (t)
são linearmente independentes. Sugestão: no primeiro caso faça t1=0, t2=1, t3=-1, no segundo faça t1=0, t2=pi / 2, t3=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os conjuntos de vetores e são linearmente independentes. A matéria aqui é Algebra Linear, mais especificamente o conceito de independência linear. Para resolver, vamos usar o método que envolve avaliar os vetores em certos valores de e verificar se a única combinação linear que dá zero é a trivial (ou seja, todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é multiplicando cada um por zero. Matematicamente, se tivermos:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3 = 0
Então, para ser independente, precisamos ter .

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz onde cada coluna representa um dos vetores avaliados em pontos específicos de . A sugestão é escolher valores de que simplifiquem os cálculos. Começando pelo primeiro conjunto , vamos usar , e .

Passo 4

Vamos construir a matriz com essas avaliações:

[
1 & 0 & e^0 1 & 1 & e^1 1 & -1 & e^-1 = 1 & 0 & 1 1 & 1 & e 1 & -1 & 1e


]

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
det = 1 cdot (1 cdot 1e - (-1) cdot e ) - 0 cdot (1 cdot 1e - 1 cdot e ) + 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1 )
Simplificando:
det = 1 cdot (1e + e) + 1 cdot (-2) = 1e + e - 2
Sabemos que porque , então o determinante não é zero.

Passo 6

Agora vamos fazer o mesmo para o segundo conjunto usando , e .

Passo 7

Construímos a matriz:

[
sin(0) & cos(0) & 0 cdot cos(0) sin(pi2) & cos(pi2) & pi2 cdot cos(pi2) sin(pi) & cos(pi) & pi cdot cos(pi) = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & -1 & -pi


]

Passo 8

Calculamos o determinante dessa matriz:
det = 0 cdot (0 cdot (-pi) - (-1) cdot 0 ) - 1 cdot (1 cdot (-pi) - 0 cdot 0 ) + 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0 )
Simplificando:
det = -1 cdot (-pi) = pi
Como , o determinante também é diferente de zero.

Resposta

Assim, mostramos que ambos os conjuntos de vetores e são linearmente independentes.

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