Sendo u e v vetores não paralelos, e |v|=2|u| mostre que 2 u+v e 2 u-v são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores, u e v, que não são paralelos e que a magnitude de v é o dobro da magnitude de u, ou seja, |v| = 2|u|. Nosso objetivo é mostrar que os vetores 2u + v e 2u - v são ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja, se tivermos dois vetores a e b, eles são ortogonais se:
a cdot b = 0
Então, para mostrar que 2u + v e 2u - v são ortogonais, precisamos provar que o produto escalar desses dois vetores é zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de 2u + v e 2u - v. Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
(2u + v) cdot (2u - v)
Vamos expandir isso passo a passo.

Passo 4

Expandindo o produto escalar:
(2u + v) cdot (2u - v) = 2u cdot 2u + 2u cdot (-v) + v cdot 2u + v cdot (-v)
Simplificando cada termo:
  1. 2u cdot 2u = 4 (u cdot u) = 4 |u|^2
  2. 2u cdot (-v) = -2 (u cdot v)
  3. v cdot 2u = 2 (v cdot u) = 2 (u cdot v)
  4. v cdot (-v) = - (v cdot v) = -|v|^2
Agora, somando todos os termos:
4 |u|^2 - 2 (u cdot v) + 2 (u cdot v) - |v|^2
Perceba que os termos -2 (u cdot v) e +2 (u cdot v) se cancelam, restando:
4 |u|^2 - |v|^2

Passo 5

Agora, vamos usar a informação dada no enunciado: |v| = 2|u|. Elevando ambos os lados ao quadrado:
|v|^2 = (2|u|)^2 = 4|u|^2
Substituindo esse valor na expressão anterior:
4 |u|^2 - 4|u|^2 = 0

Resposta

Como o produto escalar de 2u + v e 2u - v deu zero, concluímos que esses vetores são ortogonais.

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