Sendo e vetores não paralelos, e mostre que e são ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores, e , que não são paralelos e que a magnitude de é o dobro da magnitude de , ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que os vetores e são ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja, se tivermos dois vetores e , eles são ortogonais se:
Então, para mostrar que e são ortogonais, precisamos provar que o produto escalar desses dois vetores é zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de e . Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Vamos expandir isso passo a passo.
Passo 4
Expandindo o produto escalar:
Simplificando cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Perceba que os termos e se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, vamos usar a informação dada no enunciado: . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Substituindo esse valor na expressão anterior:
Resposta
Como o produto escalar de e deu zero, concluímos que esses vetores são ortogonais.