Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir é uma base ortonormal.
Verifique se os vetores u e v são ortogonais nos seguintes casos: u=(a, b, 1)E e v=(b, a,-1)E.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que quer saber se dois vetores, u e v, são ortogonais. A base que estamos usando é uma base ortonormal, o que vai simplificar as contas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto interno (ou produto escalar) entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. O produto interno, também conhecido como produto escalar, é uma maneira de multiplicar dois vetores que resulta em um número. Se esse número for zero, os vetores são perpendiculares, ou seja, ortogonais.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno entre u e v. Como estamos trabalhando em uma base ortonormal E=e1, e2, e3, o produto interno é simplesmente a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.
Então, temos:
u = (a, b, 1)E
v = (b, a, -1)E
O produto interno é:
u cdot v = a cdot b + b cdot a + 1 cdot (-1) = 2ab - 1
Passo 4
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto interno precisa ser igual a zero. Então, vamos igualar o resultado que encontramos a zero e resolver para a e b:
2ab - 1 = 0
2ab = 1
ab = 12
Então, os vetores u e v serão ortogonais quando o produto de a e b for igual a meio.
Resposta
Os vetores u e v são ortogonais quando a cdot b = 12.