Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir é uma base ortonormal.
Verifique se os vetores u e v são ortogonais nos seguintes casos: u=(-4,2,1)E e v=(1,2,0)E;
Passo 1
Aqui, o exercício nos pede para verificar se os vetores u e v são ortogonais em um espaço vetorial com a base ortonormal E=e1, e2, e3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como calcular o produto interno entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. O produto interno, também conhecido como produto escalar, em um espaço com base ortonormal, é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos. A fórmula para o produto interno de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes dos vetores u e v fornecidos no exercício:
u = (-4,, 2,, 1)
v = (1,, 2,, 0)
Passo 4
Substituindo as componentes dos vetores na fórmula do produto interno, temos:
u cdot v = (-4) times 1 + 2 times 2 + 1 times 0
Calculando cada termo:
(-4) times 1 = -4
2 times 2 = 4
1 times 0 = 0
Somando esses valores:
u cdot v = -4 + 4 + 0 = 0
Resposta
Como o produto interno u cdot v resultou em zero, podemos concluir que os vetores u e v são ortogonais.