Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
Dé o prisma cuja base é o triângulo no plano
limitado pelo eixo
e pelas retas
e
e cujo topo está no plano
.
Dé o prisma cuja base é o triângulo no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para montar uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas para calcular a integral
sobre uma região
. Essa região
é um prisma cuja base é um triângulo no plano
, limitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
. O topo do prisma está no plano
. Para resolver, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a base do prisma no plano
. A base é um triângulo limitado pelo eixo
, pela reta
e pela reta
. Em coordenadas cilíndricas,
e
. Precisamos encontrar os limites para
e
que descrevem essa região triangular.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
. Olhando para o triângulo, ele vai do eixo
à reta
. A reta
no plano poliárquico corresponde a
. Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, para
, vamos ver até onde ele vai para cada
. No triângulo, o limite superior de
é
, então
. Portanto,
varia de
a
, que é
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar os limites para
. O topo do prisma está no plano
, que em coordenadas cilíndricas fica
. O fundo do prisma está no plano
. Então,
varia de
a
.
Resposta
A integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas para a região
é: