Nos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) d z r d r d theta sobre a região D dada.
Dé o prisma cuja base é o triângulo no plano x y limitado pelo eixo x e pelas retas y=x e x=1 e cujo topo está no plano z=2-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para montar uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas para calcular a integral integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta sobre uma região D. Essa região D é um prisma cuja base é um triângulo no plano xy, limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. O topo do prisma está no plano z = 2 - y. Para resolver, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como determinar os limites de integração para r, theta e z.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a base do prisma no plano xy. A base é um triângulo limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. Em coordenadas cilíndricas, x = r cos theta e y = r sin theta. Precisamos encontrar os limites para r e theta que descrevem essa região triangular.

Passo 3

Vamos determinar os limites para theta. Olhando para o triângulo, ele vai do eixo x à reta y = x. A reta y = x no plano poliárquico corresponde a theta = pi4. Então, theta varia de 0 a pi4.

Passo 4

Agora, para r, vamos ver até onde ele vai para cada theta. No triângulo, o limite superior de x é 1, então r cos theta <= 1. Portanto, r varia de 0 a 1cos theta, que é r = sec theta.

Passo 5

Por fim, vamos determinar os limites para z. O topo do prisma está no plano z = 2 - y, que em coordenadas cilíndricas fica z = 2 - r sin theta. O fundo do prisma está no plano z = 0. Então, z varia de 0 a 2 - r sin theta.

Resposta

A integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas para a região D é:
integral0^pi4 integral0^sec theta integral0^2 - r sin theta f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta

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