Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam o numerador e o denominador quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
. Sabemos que o logaritmo natural
está definido para
. Porém, como estamos usando
, garantimos que o argumento do logaritmo seja positivo. Quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do numerador:
Portanto, o numerador se aproxima de
.
Passo 4
Em seguida, analisamos o denominador:
. Vamos substituir
por
:
O denominador se aproxima de
. Precisamos verificar o comportamento do denominador quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 5
Vamos derivar o denominador em relação a
para entender melhor seu comportamento próximo a
:
Substituindo
:
Como a derivada é negativa, o denominador está diminuindo à medida que
se aproxima de
pela direita, ou seja, está se aproximando de
pelo lado negativo.
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Porque dividimos um número negativo por um número que se aproxima de zero pelo lado negativo, o resultado tende a mais infinito.
Resposta
O limite é
.