Use o polinômio de Taylor de senh
para calcular o exato valor do limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite:
Nesse exercício, vamos usar o polinômio de Taylor para aproximar as funções hiperbólicas e trigonométricas envolvidas. O polinômio de Taylor nos ajuda a simplificar funções complicadas em polinômios mais fáceis de trabalhar, especialmente perto de um ponto específico, aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do polinômio de Taylor da função
em torno de
:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Simplificando os termos:
Passo 3
Vamos agora calcular o numerador da nossa fração:
Como
está se aproximando de 0, os termos com potências maiores de
(como
) vão se tornar insignificantes, então podemos considerar apenas o primeiro termo
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador
. Primeiro, precisamos do polinômio de Taylor da função
em torno de
:
Subtraindo isso de
:
Novamente, os termos com potências maiores de
são menos relevantes perto de 0, então consideramos apenas
.
Então, elevando ao quarto poder:
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto no limite:
Os
se cancelam, e o limite é simplesmente a divisão dos coeficientes.
Resposta
O limite é 216.