Use o polinômio de Taylor de senh x^4 para calcular o exato valor do limite
lim x 0 senh x^4-x^4(x-sen x)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite:
lim x 0 senh x^4-x^4(x-sen x)^4
Nesse exercício, vamos usar o polinômio de Taylor para aproximar as funções hiperbólicas e trigonométricas envolvidas. O polinômio de Taylor nos ajuda a simplificar funções complicadas em polinômios mais fáceis de trabalhar, especialmente perto de um ponto específico, aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do polinômio de Taylor da função senh(y) = y + y^36 + y^5120 + dots em torno de senh(x^4) = x^4 + (x^4)^36 + (x^4)^5120 + dots :
senh(x^4) = x^4 + x^126 + x^20120 + dots
No nosso caso, temos , então substituímos por :
Simplificando os termos:

Passo 3

Vamos agora calcular o numerador da nossa fração:
senh(x^4) - x^4 = (x^4 + x^126 + dots) - x^4 = x^126 + dots
Como está se aproximando de 0, os termos com potências maiores de (como ) vão se tornar insignificantes, então podemos considerar apenas o primeiro termo .

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador sen(x) = x - x^36 + x^5120 - dots . Primeiro, precisamos do polinômio de Taylor da função x - sen(x) = x - (x - x^36 + dots) = x^36 - x^5120 + dots em torno de (x - sen(x))^4 approx (x^36)^4 = x^126^4 = x^121296 :
Subtraindo isso de :
Novamente, os termos com potências maiores de são menos relevantes perto de 0, então consideramos apenas .
Então, elevando ao quarto poder:

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto no limite:
lim x 0 senh x^4-x^4(x-sen x)^4 approx lim x 0 x^126x^121296 = lim x 0 12966 = 216
Os se cancelam, e o limite é simplesmente a divisão dos coeficientes.

Resposta

O limite é 216.

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